资料简介
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第三讲 圆锥曲线性质的探讨
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一 平行射影
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一 平行射影 ZHISHI SHULI
知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO
重难聚焦 DIANLI TOUXI
典例透析MUBIAODAOHANG
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1.掌握正射影的概念,理解平行射影的概念,能确定平行射影的形
状.
2.掌握椭圆的定义,知道椭圆是圆柱的一种截面.
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1.正射影
(1)定义:给定一个平面α,从一点A作平面α的垂线,垂足为点A'.称
点A'为点A在平面α上的正射影.一个图形上各点在平面α上的正射
影所组成的图形,称为这个图形在平面α上的正射影.
(2)圆面的正射影:一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在
平面α上的正射影显然是一个圆,并且是和原来的圆相同的圆;如果
圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时,从生活经验我们知道,
正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之椭圆;
如果圆所在的平面β与平面α垂直时,那么该圆在平面α上的正射影
是一条线段,其长度等于圆的直径.
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名师点拨一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置
有关,如一条直线,当它和平面α垂直时,它在平面α上的正射影是一
个点;当它和平面α斜交时,它在平面α上的正射影是一条直线;它和
平面α平行时,它在平面α上的正射影是一条与原直线平行的直线.
【做一做1】△ABC在平面α上的正射影是( )
A.三角形
B.直线
C.线段
D.三角形或线段
解析:当△ABC所在平面垂直于α时,△ABC在α上的正射影是一条
线段,否则是三角形.
答案:D
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2.平行射影
定义:设直线l与平面α相交(如图),称直线l的方向为投影方向.过
点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A',称点A'为A沿l的
方向在平面α上的平行射影.一个图形上各点在平面α上的平行射影
所组成的图形,叫做这个图形的平行射影.
显然,正射影是平行射影的特例.
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归纳总结平行射影的性质:
(1)直线的平行射影是直线或一个点,线段的平行射影是线段或一
个点;
(2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线或两个点;
(3)平行于投影面的线段,它的平行射影与这条线段平行且等长;
(4)与投影面平行的平面图形,它的平行射影与这个图形全等;
(5)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行射影(不是点)的
比等于这两条线段的比.
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【做一做2】两条异面直线m和n在平面α上的平行射影是( )
A.一条直线和直线外一个点
B.两条相交直线
C.两条平行直线
D.以上都有可能
解析:当m和n中有一条直线与投影方向平行时,它们的平行射影
是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线.
答案:D
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3.椭圆
(1)定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做
椭圆.
(2)抽象概括:用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两个底
面平行时,截面是一个圆;当平面与圆柱的两个底面不平行时,截面
是一个椭圆(如图).
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【做一做3】平面上两个定点A和B的距离为5,动点P到点A,B的
距离之和为常数m,若动点P的轨迹是椭圆,则m的取值范围是( )
A.(0,5) B.(5,+∞)
C.(0,+∞) D.R
解析:当m5
时,轨迹是椭圆.
答案:B
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1.平行射影与正射影的区别与联系
剖析:对于平行射影,取不同的投影方向,同一个图形的平行射影
也有所不同,正射影就是平行射影中投影方向与平面垂直时的一种
特殊情况.因而我们可以从两个不同的角度加以考虑,并且要注意
这二者的区别与联系,从而完整、全面地看待问题.
例如,如图,直线l与平面α所成的角是45°,交点为A.在l上取不同于
点A的一点B,过点B作BC⊥α,垂足为C.则l在平面α上的正射影是直
线AC.当投影方向与l相同时,l在平面α上的平行射影是一个点,即点
A;当投影方向垂直于平面α时,l在平面α上的平行射影是直线AC,此
时平行射影和正射影是相同的.
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2.点的射影与图形的射影的区别与联系
剖析:图形是由点组成的集合,因而图形的射影是被投影图形上
各点在平面α上的射影的集合,所以,要找到一个图形的射影只需找
到组成这个图形的关键点的射影即可.
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题型一 题型二 题型三
【例1】下列说法正确的是( )
A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影
B.投影线与投影平面有且只有一个交点
C.投影方向可以平行于投影平面
D.一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的
解析:正射影是平行射影的特例,本质是相同的,故选项A错误;投影
线与投影平面只能相交,选项B是正确的,选项C是错误的;一个图形
在一个平面上的平行射影与投影方向有关,方向改变了,就可能得到
不同的平行射影,故选项D错误.
答案:B
反思图形的平行射影与两个因素有关:一个是投影方向,一个是投
影平面.正确理解平行射影的有关概念,是解决平行射影问题的关键.
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题型一 题型二 题型三
【变式训练1】如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形,则
下列结论正确的是( )
A.内心的平行射影还是内心
B.重心的平行射影还是重心
C.垂心的平行射影还是垂心
D.外心的平行射影还是外心
解析:当三角形的平行射影仍是三角形时,其在投影平面上的三
角形的形状可能会发生变化,此时三角形的各顶点、各边的位置也
会发生变化,其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点会随
着发生变化,而中位线上三等分点的等分比例性质不变,内心射影
前后相对的位置关系不变.
答案:A
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题型一 题型二 题型三
【例2】如图,点E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,
则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是
.(要求:把可能的图的序号都填上)
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题型一 题型二 题型三
解析:对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到,
并且对于图形要考虑所有点的正射影,又知线段由两个端点唯一确
定,故考查四边形BFD1E的射影,只需同时考查点B,F,D1,E在各个面
上的正射影即可.
四边形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD和平面
A1B1C1D1上的正射影均为图②;四边形BFD1E在平面ADD1A1和平
面BCC1B1上的正射影均为图③.
答案:②③
反思判断平行射影的形状时,常常先确定图形中各顶点的射影,再
依次连接各顶点的射影即可;同一图形在平行平面上的平行射影是
相同的.
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题型一 题型二 题型三
【变式训练2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是
AA1,D1C1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,画出空间四边形AEFG
在该正方体的面DCC1D1上的正投影.
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题型一 题型二 题型三
解:如图①,点A落在D点上,点G 落在CC1的中点G'上,点F在面
DCC1D1上的正射影仍为点F,点E落在DD1的中点E'上,所以其正投
影如图②所示.
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题型一 题型二 题型三
易错点:不能准确理解平行射影的概念而致错
【例3】线段AB,CD在同一平面内的正射影相等,则线段AB,CD
的长度关系为( )
A.AB>CD B.AB
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