资料简介
第24章
24.2 与圆有关的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系（2课时）
• 1.掌握点与圆的位置关系及其运用。
• 2.掌握不住在同一直线上的三点确定一个圆并能运用。
• 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念。
• 4.了解反证法的证明思想。
学习目标：
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为
我国赢得荣誉，右图是射击靶的示意图，
它是由许多同心圆（圆心相同，半径不等
的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置
的成绩是如何计算的吗？
观 察
r
· CO
A
B
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？
点C在圆外.
点A在圆内，
点B在圆上，
问 题 探 究
r
问题２：设⊙O半径为 r , 说出来点A，点B
，点C与圆心O 的距离与半径的关系： · CO
A
B
OC > r.
OA < r， OB = r，
设⊙O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP = d，则有：
点P在圆上 d = r；
点P在圆外 d ＞ r .
点P在圆内 d ＜ r ；
符号 读
作“等价于”，它
表示从符号
的左端可以得到右
端从右端也可以得
到左端．
r
·O
A
问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否 判断点和圆
的位置关系？
P
射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由
内到外分成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成
绩用弹着点位置对应的环数来表示．弹着点与靶心的距离决定了它
在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的
环数也就越高，射击的成绩越好.
你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。则
点和圆的位置关系
点在圆内 d﹤r
点在圆上
点在圆外
d＝r
d>r
练习：已知圆的半径等于5厘米，圆上的点到圆心的距离是:
A、8厘米 B、4厘米 C、5厘米。
请你分别说出点与圆的位置关系。
●
●
●
●
O
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，
AD=4厘米
A D
CB
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作
圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系
如何？
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
典型例题
A D
CB
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A
，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A
，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆内，C在圆上)
· 2cm
3cm
1,画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于
或等于3cm的点组成的图形.
O
体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，他
们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
1、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、
10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；
点B在 ；点C在 。
2、⊙O的半径6cm，当OP=6时，点p在 ；
当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外。
圆内
圆上 圆外
圆上
＜6 ≤6
练一练
3、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点
B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A 。上 外 上
4、已知AB为⊙O的直径P为⊙O 上任意一点，则点关于AB的对称点
P′与⊙O的位置为( )
(A)在⊙O内 (B)在⊙O 外 (C)在⊙O 上 (D)不能确定
c
对于一个圆来说,过几个点能作一个圆,并且只能作一个圆？
过一点能作几个圆？
无数个
A
过A点的圆的圆心有何特点？
平面上除A点外的任意一点
过两点能作几个圆？
A
B
过A、B两点的圆的圆心有何特点？
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距
离为半径作圆.
●O●O
A
B
C
1、连结AB，作线段AB的垂直平分线DE， O
D
E
G
F
2、连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于
点O，
3、以O为圆心，OB为半径作圆，
作法：
⊙O就是所求作的圆
已知：不在同一直线上的三点 A、B、C
求作：⊙O，使它经过A、B、C
1、三点不共线
请你证明你作的圆符合要求
•证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
•∴OA=OB. 同理,OB=OC. ∴OA=OB=OC.
∴点A,B,C在以O为圆心，OA长为半径的圆上.
∴⊙O就是所求作的圆,
•在上面的作图过程中.
•∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆
O
A
B
C
O
1。由定理可知：经过三角形三个顶点可以作一
个圆.并且只能作一个圆.
2。经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这
个三角形叫做这个圆的内接三角形。
A
B
C
圆的内接三角 形
三角形的外接 圆
三角形 的外心
A
B
CO
外心 1。三边垂直平分线的交点
2。到三个顶点距离相等
O
A
B C
A
B
C
O
直角三角形外心是斜边AB的中点 钝角三角形外心在△ABC的外面
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
1、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ).
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的 形状为( )
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等腰三角形
√
×
×
√
B
练一练
思考： 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样
用这样的工具找到圆形工件的圆心．
D
A B
C
O
∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、
B两点的距离相等，
又∵和一条线段的两个端点距离相等的点
在这条线段的垂直平分线上，
∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做
任意两条直径，它们的交点为圆心.
如何解决“破镜重圆”的问题：
圆心一定在弦的垂直平分线上
思考：任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明.
不一定
1. 四点在一条直线上不能作圆；
3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
A B
CD
A B
CD
A
B
CD
A
B
CD
2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆；
O
A
D CB
巩固练习
求外接圆的半径。，点O为外心，
1.如图，等腰⊿ABC中，
2、为美化校园，学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池，在
三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A、B、C），若不动花树，还要
建一个最大的圆形喷水池，请设计你的实施方案。
C
B
A
• 3. 如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,你能求出这个直
角三角形的外接圆的半径吗?是多少?
• 4.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,试求这个三角形的外接圆的面
积.
问：如图，在矩形ABCD中AB=3，
AD=4，以A为圆心，使B、C、D三点
中至少有一点在圆内，至少有一点在
圆外，求此圆半径R的取值范围。
11或8
问：在⊙O中，点M到⊙O的最小距离为3，最大距离是19，那
么⊙O的半径为___________
O
提升：已知菱形ＡＢＣＤ的对角线为
AC和 BD，E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点，求证E、F、G、
H四个点在同一个圆上。
思路：要证明几个点在同一圆上，就是证
明这几个点到某一个定点的距离相等
我学会了什么 ？
过两点可以作无数个圆.圆心在以已知两点为端点的
线段的垂直平分线上.
实际问题
直线公理
过一点可以作无数个圆
过三点
过不在同一条直线上的三点确定一个圆
过在同一直线上的三点不能作圆
外心、三角形外接圆、圆的内接三角形实际问题
作圆
引入
解决
类比
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、
定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到
原命题成立，这种方法叫做反证法．
什么叫反证法？
●A
●A ●B
过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？
经过一点可以作无数条直线；
过两点有且只有一条直线(直线公理)
（“有且只有”就是“确定”的意思
)
过三点
1、若三点共线，则过这三点只能作一条直线.
A B C
2、若三点不共线，则过这三点不能作直线，但过任
意其中两点一共可作三条直线.
A
B C
直线公理：两点确定一条直线
查看更多
