资料简介
第24章
24.1圆、、垂径定理、圆心角、圆周角（1）
24.1.4圆内接四边形
• 学习目标：
• 1.理解圆内接四边形和多边形的外接圆的概念，掌握圆内
接四边形的性质，并会用此性质进行有关的计算和证明。
• 2.进一步掌握圆周角定理及推论，并会综合运用知识进行
有关的计算和证明。
• 3.学习中注重培养自己的逻辑思维能力、分析、解决问题
能力。
1、如图(1)，△ABC叫⊙O的_____三角形，⊙O叫△ABC的 ____ 圆。
2、 如上图(1),若弧BC的度数为1000, 则∠BOC=__ ,∠A= __
3、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹
∠2=600 ,则∠1=___ ,∠B=___ .
复习提问：
A
B C
E
D
CB
A
21
图1 图2
O
内接 外接
100º 50º
120º60º
O
C
A
B
D
如图，四边形ABCD为圆内接四边形；⊙O
为四边形ABCD外接圆.
问题1
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫
做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
O
B C
D
EF
A
O
A
C
D
E
B
返回
问题2
C
O
D
B
A
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ ∠A的度数等于弧BCD的一半，∠BCD的度数等于弧BAD的一半，
又∵弧BCD+弧BAD 度数为360°，
∴∠A＋∠C＝ 180°.
同理∠B＋∠D＝180°.
圆内接四边形的对角互补。
问题3
如果延长BC到E，那么
∠DCE＋∠BCD ＝ 180°.
∴∠A＝∠DCE.
又 ∵∠A ＋∠BCD＝ 180°，
C
O
D
B
A
E
如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE 会有怎样的关系呢？
A
EC
O
D
B
又 ∠A ＋∠BCD=180°
∴∠A＝∠DCE
∵∠DCE＋∠BCD ＝180°
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角，我们把
∠A叫做∠DCE的内对角。
圆内接四边形的一个外角等于它的内对
角。
C
O
D
B
A
E
∠A＝∠DCE
几何表达式：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠A+∠C=180°且∠B=∠1 .
性质定理：
探索结论
先根据图形讨论，然后用语言归纳为 :
圆的内接四边形的对角互补，并且任
何一个外角都等于它的内对角。
1 2O O
F
A
BE
C
D
应用举例
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1
交于点C，与⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与
⊙O2 交于点F。
求证：CE∥DF
CE∥DF
∠E＋∠F＝180°
∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F
ABEC是⊙O1
的内接四边形
ABFD是⊙O2
的内接四边形
连结AB
1 2O O
F
A
BE
C
D
1
思路分析
反思与拓展
证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角相等、内
错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明了CE
∥ DF，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相等证明结果？
方法二 延长EF,是否有∠E=∠BAD＝ ∠1 ？
延长DF, 能否证明∠E＝∠２＝∠3？
方法三
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，过A点的直线CD与
⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，过B点的直线EF与⊙O1交于点E
，与⊙O2交于点F。
E
D
C
F
A
B
猜想：CE∥DF仍然成立吗？
O1 O2
变式2:如图,⊙O1和⊙O2有两个公共点A﹑B，过A﹑B两点的直线分
别交⊙O1于C 、E,交⊙O2于D 、F，且CD∥EF。
C
E
A
B
D
F
O1
O2
求证：CE=DF
180°
180°
100° 80°
50° 130°
45°
达标练习
一、填空
(1)四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=__ ，
∠B+∠ADC=_____; 若∠B=800，
则∠ADC=______ ∠CDE=______(图1)
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000
则∠B=______∠D=______(图2)
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
达标练习
图2图1
(4)如图3，梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,
则∠C=_____.
2、选择题：
圆内接平行四边形必为( )
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.等腰梯形
75°
B
返回
图3
3、 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已
知∠BOD=100°，则∠BAD=
∠BCD=
反馈练习：
A
B
C
D
O50º
130º
4、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=
2:3:4,则∠A= ∠B= ∠C= ∠D=60º 90º 120º 90º
5、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º，
则∠BOD= 150º
A
B
C
D
O
E
本节课所学的内容可概括为三个“1”.
一个概念： 圆的内接四边形；
一个定理：圆的内接四边形的性质定理；
添辅助线的方法：作两圆的公共弦.
课堂小结
1、圆内接四边形------顶点在圆上的四边形,该圆
叫四边形的外接圆。
2、圆内接四边形的性质
3、解题时应注意两点：
（1）注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角的位置，
不要受背景的干扰。
（2）证题时，常需添辅助线-----两圆共有一条弦(公共弦)，
构造圆内接四边形。
思维拓展:
1、圆内接平行四边形一定是 形。
2、圆内接梯形一定是 形。
3、圆内接菱形一定是 形。
矩
等腰梯
正方
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