资料简介
第24章
24.1圆、、垂径定理、圆心角、圆周角（1）
24.1.2垂径定理
• 1.理解圆的轴对称性。
• 2.掌握垂径定理及推论，能用垂径定理及其推论进行有关
计算和证明，进一步应用垂径定理解决实际问题。
• 3.学习中通过对比理解垂径定理及其推论，应用中将实际
问题转化为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解
决问题的能力。
学习目标：
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国
古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的
长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱
的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你
发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它
的对称轴．
●O
判断对错并说明理由
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径
（ ）
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
活 动 二
· O
A B
C
D
E
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的
对称轴
（2）线段：AE=BE
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B
重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．
AA
⌒⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ⌒ ⌒
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分ＡＢ 及 ＡＣＢ⌒⌒
·O
A B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧．
即ＡＥ＝ＢＥ
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
⌒ ⌒ ⌒⌒
思考：
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
CD⊥AB,
CD是直径
AE=BE 可推得 ⌒ ⌒ AC=BC,
⌒ ⌒
AD=BD.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
BA
D
C
O
E
平分弦的直径垂直于弦（ ）
C
D
B
A
O
1.被平分的
弦不是直径
2.被平分的弦是直径
AB不是直径
AM=BM,CD是直径
CD⊥AB
可推得
CD⊥AB,CD是直径
AM=BM AC=BC,⌒ ⌒
AD=BD.⌒ ⌒
可推得
Ｄ
Ｃ
Ａ ＢM
Ｏ
垂径定理：
垂径定理的推论：
AB不是直径
AC=BC,⌒ ⌒
AD=BD.⌒ ⌒
几何语言表达
BA
D
C
O
A B
D
O
A BD
O
A
B
C
D
O
图1
A B
C
D
O
图2
O
A
BC
D
图3
图4 图5 图6
Ｅ Ｅ
Ｅ
Ｅ Ｅ
下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？
辨别是非
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，
则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，
则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若AN = BN ，MN为直径，则________，________，________
．
Ａ Ｂ
N
M
C
Ｏ
⌒⌒
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线一定经过圆心
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
辨别是非
37.4米
7.2米
1300多年前,我国隋朝建的赵州石
拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨
度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高
为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
B
O
D
A
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题
例1.如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为
R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D
，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱
高．
⌒
⌒⌒
.
A E B
O .
A E B
O
F
思路：（由）垂径定理——构造Rt△——
（结合）勾股定理——建立方程
构造Rt△的“七字口诀”：
半径半弦弦心距
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为
3cm，求⊙O的半径．
·O
A BE
活 动 三
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB
于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·O
A B
C
E
3.在直径是20cm的 中， ∠AOB的度数是
，那么弦AB的弦心距是 .
⊙O
1.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半
径为 .
2.已知：P为 内一点，且OP＝2cm，如果
的半径是
那么过P点的最短 的弦等于 .
⊙O
⊙O
已知：⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ， AB = 6 ，CD =8 .
求： AB与CD间的距离
思考
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，若油面宽AB =
600mm，求油的最大深度.
600
练习
A B
C
D
P
2.已知：如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于P，
且∠APC=45°,AP=5,PB=1
求CD的长
E
4.已知：如图，在同心圆O中，大⊙O的弦AB 交小⊙O于C,D两点
求证：AC=DB
E
E
D CB
A
O
∟
4.已知：如图△ABC的三个顶点都在⊙O 上，AD⊥BC，E为BC
的中点
求证：∠EAD=∠OAE
A
B
C
E F
5.已知：如图，⊙O中AB和AC的中点分别是点F和点E,EF分别交
AC和AB于P,Q两点，判断△APQ是什么三角形？
P Q
O
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ，
过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘
宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过
拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ C
NM
A
E
H
F
B
D
O
实际应用
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