资料简介
第22章 二次函数
22.3实际问题与二次函数（2）
学习目标：
• 1.能利用二次函数解决与利润有关的实际问题。
• 2.通过对生活中实际问题的探究，体会数学建模思
想。
-2 0
2
4
6
2-4
x
y
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小
值分别为（ ）、（ ）。
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小
值分别为（ ）、（ ）。
求函数的最值问题，应注意什么?
55 5
55 13
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=x2＋4x
y=2x2+8x+13
某商品现在的售价为每件60元，每星
期可卖出300件，市场调查反映：每涨
价1元，每星期少卖出10件；每降价1
元，每星期可多卖出18件，已知商品的
进价为每件40元，如何定价才能使利润
最大？ 请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量
随之发生了变化？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变
化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖__________件，
实际卖出_______________件,销额为 元，买进商品需付
____________________元因此，所得利润为
_____________________________________________元
10x
(300-10x) (60+x)(300-10x)
40(300-10x)
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即y=-10x2+100x+6000 (0≤X≤30)
y=-10x2+100x+6000(0≤X≤30)
可以看出，这个函数的图像是一
条抛物线的一部分，这条抛物线
的顶点是函数图像的最高点，也
就是说当x取顶点坐标的横坐标时，
这个函数有最大值。由公式可以
求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
x=- =5时，y最大值=-10×52+100×5+6000=6250 b
2a
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出
答案。
做一做
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出
（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-
10x)元，因此，得利润
(0≤x≤20)
答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你
知道应该如何定价能使利润最大了吗?
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的
取值范围内 。
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，
市场调查发现：若每箱以50 元销售,平均每天可销售100
箱. 价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱 ; 价格每箱
升高1元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润
最大？
练一练
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。如何定价才能
使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，
此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天
可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有
10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元
（放养期间蟹的重量不变）.
⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.
⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q
元，写出Q关于x的函数关系式。
⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销
售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？
解：①由题意知:P=30+x.
②由题意知：死蟹的销售额为200x元，活蟹的销售额
为（30+x）（1000-10x)元。
∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x=-10x2+900x+30000
③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x =-10(x-
25)2+6250
∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元。
x(元) 15 20 30 …
y(件) 25 20 10 …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。
（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；
（6分）
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为
多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）
与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元。
则
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225
元。
则
解得：k=－1，b＝40。
（1）设此一次函数解析式为 。
所以一次函数解析为 。
15k+b=25
20k+b=20
设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
旅行社何时营业额最大
1.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过
30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮
助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为
每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每
增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，
宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少
时，宾馆利润最大？解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元
Y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)
Y=-1/10x2+34x+8000
1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每
件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库
存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果
每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价
多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
（三）销售问题
2.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服
装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是
一次函数关系：
t＝－3x＋204。
（1）.写出商场卖这种服装每天销售利y（元）与每件的销售价
x（元）间的函数关系式；
（2）.通过对所得函数关系式进行配方，指出 商场要想每天获得最大
的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？
3. 某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包。
起初以40元每个售出，平均每个月能售出200个。后来，
根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨1元，每个
月就少卖出10个。现在请你帮帮他.
(1).如何定价才使他的利润最大？
(2).如何定价才使他的利润达到2160元？
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