资料简介
14.3.2 公式法
第十四章 整式的乘法与因式分解
第1课时 运用平方差公式因式分解
学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）
2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点）
导入新课
a米
b米
b米a米
(a-b)
情境引入
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将
剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
用平方差公式进行因式分解一
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
))(( b a ba -+=22 ba -
))(( 22baba ba-+ = -
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项
式才能用平方差公式进行因
式分解，即能写成: ( )2-(
)2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2 -(x2+y2)
y2-x2（4）-x2+y2
（5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y)
（6）m2-1 (m+1)(m-1)
例1 分解因式：
a ab b( + )( - )a2 - b2 =
解:(1)原式= 2x 3 2x 2x3 3
(2)原式=[(x+p)+(x+q) ] [(x+p)-(x+q) ]
a b
典例精析
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只
要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因
式分解.
分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
针对训练
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
解：(1)原式＝(a ＋ b ＋ 2a)(a＋b － 2a)
＝(3a＋b) (b－a)；
(2)原式＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝4(2m＋n)(m＋2n) 若用平方差公式分解后的结果
中有公因式，一定要再用提公
因式法继续分解.
))((22 bababa -+=-
20152－20142 =
（2mn）2 - ( 3xy)2 =
(x+z)2 - (y+p)2 =
例2 分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继
续分解的因式，若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行
分解，然后再用公式法.最后进行检查.＝ab(a+1)(a-1).
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，
再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分
解因式为止．
分解因式：
(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
针对训练
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问
题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进
行变形，使运算得以简化.
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然
后分析能被哪些数或式子整除．
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
当堂练习
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ ）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ ）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
A
4.把下列各式分解因式：
(1) 16(1) 16aa22-9-9bb22=_________________;
(2) (2) ((aa++bb))22-(-(aa--bb))22=_________________;
(3) 9(3) 9xyxy33-36-36xx33yy=_________________;
(4) -a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.若将((2x))n-81分解成((4x2+9)()(2x+3)()(2x-3))，则n的值是_____________.4
6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求((m+2n))2-((3m-n))2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=((m+2n+3m-n)()(m+2n-3m+n))
=((4m+n)()(3n-2m))
=-((4m+n))（2m-3n))，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的
小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－ (2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
8. (1)992-1能否被100整除吗？
解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
所以，(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
所以992-1能否被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
课堂小结
平 方 差 公
式 分 解 因
式
公 式 a2-b2=(a+b)(a-b)
步 骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再
分解为止.
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