资料简介
14.1.3 积的乘方
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
学习目标
1.理解并掌握积的乘方法则及其应用.（重点）
2.会运用积的乘方的运算法则进行计算.（难点）
我们居住的地球
情境引入
大约
6.4×103km
你知道地球的体积大约是多
少吗？
球的体积计算公式：
地球的体积约为
导入新课
问题引入
1.计算:
（1） 10×102× 103 =______ ；
（2） (x5 )2=_________.x10
106
2.（1）同底数幂的乘法 ：am·an= ( m，n都是正整数).am+n
（2）幂的乘方：(am)n= (m,n都是正整数）.amn
底数不变
指数相乘指数相加
同底数幂相乘
幂的乘方
其中m , n都
是正整数
（am）n=amn
am·an=am+n
想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点
和不同点？
讲授新课
积的乘方一
问题1 下列两题有什么特点？
(1) (2)
底数为两个因式相乘，积的形式.
这种形式为积的
乘方
我们学过的幂的乘方的
运算性质适用吗？
互动探究
同理：
（乘方的意义）
（乘法交换律、结合律）
（同底数幂相乘的法则）
问题2 根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算：
(ab)n =?
(ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n个ab
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
n个a n个b
=anbn.
证明：
思考问题：积的乘方(ab)n =?
猜想结论：
因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数).
(ab)n=anbn (n为正整数)
推理验证
积的乘方,等于把积的每一个因式分别 ,再把所得的幂 .
(ab) (ab)n n = a= annbbn n （（nn为正整数）为正整数）
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)(abc)nn == a annbbnnccnn （（nn为正整数为正整数））
知识要点
积的乘方法则
乘方 相乘
例1 计算:
(1) (2a)3 ； (2) (-5b)3 ；
(3) (xy2)2 ； (4) (-2x3)4.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
= 8a3；
=-125b3；
=x2y4；
=16x12.
(2)3a3
(-5)3b3
x2(y2)2
(-2)4(x3)4
典例精析
方法总结：运用积的乘方法
则进行计算时，注意每个因
式都要乘方，尤其是字母的
系数不要漏乘方．
计算：(1)(－5ab)3； (2)－(3x2y)2；
(3)(－3ab2c3)3； (4)(－xmy3m)2.
针对训练
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m.
解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；
(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；
(3)(－3ab2c3)3＝(－3)3a3b6c9＝－27a3b6c9；
×
√
×
(1)(3cd)3=9c3d3;
(2)(-3a3)2= -9a6;
(3)(-2x3y)3= -8x6y3; ×
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
(4)(-ab2)2= a2b4.
练一练
例2 计算:
(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解：(1)原式=－4xy2·x2y4·(－8x6)
=32x9y6;
(2)原式=a6b12+(－a6b12)
=0;
方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，
再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．
如何简便计算(0.04)2004×[(-5)2004]2?
议一议
=(0.22)2004 × 54008
=(0.2)4008 × 54008
=(0.2 ×5)4008
=14008
(0.04)2004×[(-5)2004]2
=1.
解法一：
=(0.04)2004 × [(-5)2]2004
=(0.04×25)2004
=12004
=1.
= (0.04)2004 ×(25)2004
(0.04)2004×[(-5)2004]2
解法二：
方法总结：逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符
合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公
式可进行简便运算．
解：原式
练一练 计算:
当堂练习
2.下列运算正确的是（ ）
A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2
C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
C
1.计算 (-x2y)2的结果是（ ）
A．x4y2 B．-x4y2
C．x2y2 D．-x2y2
A
3. 计算：(1) 82016×0.1252015= ________;
(2) ______;
(3) (0.04)2013×[(-5)2013]2=________.
8
-3
1
(1)（ab2)3=ab6 ( ) ×
×
×
(2) (3xy)3=9x3y3 ( )
×(3) (-2a2)2=-4a4 ( )
(4) -(-ab2)2=a2b4 ( )
4.判断:
(1) (ab)8 ; (2) (2m)3 ; (3) (-xy)5;
(4) (5ab2)3 ; (5) (2×102)2 ; (6) (-3×103)3.
5.计算:
解：(1)原式=a8b8;
(2)原式= 23 ·m3=8m3;
(3)原式=(-x)5 ·y5=-x5y5;
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6;
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104;
(6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010.
（1） 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;
（2）(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) ;
（3）(-2x3)3·(x2)2.
解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7
= 2x9-27x9+25x9
= 0;
解：原式=9x2y4 +4x2y4
=13x2y4;
解：原式= -8x9·x4 =-8x13.
6.计算:
拓展提升：
7.如果（an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值.
（an）3•（bm）3•b3=a9b15,
a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,
a 3n •b 3m+3=a9b15,
3n=9 ,3m+3=15.
n=3,m=4.
解：∵（an•bm•b)3=a9b15,
课堂小结
幂的运算性质
性 质 am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
反 向 运
用
am · an =am+n
(am)n =amn
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注 意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都
要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆
向运用（混合运算要注意运算顺序）
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