资料简介
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第十三章 轴对称
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
学习目标
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点）
2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.
3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）
导入新课
问题引入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区
A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应
建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B C
讲授新课
线段垂直平分线的性质一
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量
线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点
P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A B
l
P1
P2
P3
探究发现
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
P
A B
l
C
验证结论
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂
足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
典例精析
C
解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又
∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD
＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，
从而求出未知线段的长．
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点
E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
P
A B
C
D
图①
A
B C
D
E
图②
例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
A B
C
D E
K
已知：直线AB和AB外一点C .
求作：AB的垂线，使它经过点C .
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两
旁.
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D
和点E.
（4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，
两弧相交于点F.
F
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
想一想：
例3 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：
PA=PB=PC.
B
A
C
M
N
M'
N'
P
PA=PB=PC
PB=PC
点P在线段BC的垂直
平分线上
PA=PB
点P在线段AB的垂直
平分线上
解析：
证明：
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
∴PA=PB.
同理 PB=PC.
∴PA=PB=PC.
结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的
距离相等.
现在你能想到方法确定购物中心的位
置，使得它到三个小区的距离相等吗
？
例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、
BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据
E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形
的性质即可解答．
(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB＝BF，再
结合（1）即可解答．
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，
∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
线段垂直平分线的判定二
想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
P
A B
合作探究
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A BC
知识要点
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点
距离相等的点？
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与A、B两点
的距离相等的所有点的集合.
P
A BC
l
应用格式：
∵ AB =AC，MB =MC，
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
A
B C D
M
这是判断一条直线是线
段的垂直平分线的方法.
例5 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D
，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴ OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
当堂练习
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ． Ａ Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.① ② ③
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样
的点的组合共有 种.无数
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,
则△BCE的周长是 cm.
A
B C
D
E
16
6.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC
于点F，试说明AD与EF的关系．
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF
，DE＝DF.
∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线
AD垂直平分线段EF.
A
B CD
E F
7.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足
为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们
的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线
段；
(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分
∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
拓展提升：
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，
∴OC＝OD，AO＝OB，
且AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF，理由如下：
在△AOC和△AOD中，
∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC≌△AOD(SSS)，
∴∠CAO＝∠DAO.
又∵OE⊥AC，OF⊥AD，
∴OE＝OF.
课堂小结
线段的垂直平分的
性质和判定
性 质
到线段的两个端点距离相等的点
在线段的垂直平分线上
内 容
判 定
内 容
作 用
线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等
作 用 见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直
平分线上
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