资料简介
12.2 三角全等形的判定
第十二章 全等三角形
第4课时 “斜边、直角边”
情境引入
学习目标
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
（重点）
SSS
SAS
ASA
AAS
旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法
导入新课
如图如图，，Rt△Rt△ABC中中，，∠∠C =90°C =90°，，直角边是直角边是__________、、__________，，斜边是斜边是
______.______.
C
B
A
AC BC
AB
思考：
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
A
B C
A′
B′ C′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐
角对应相等，这两个直角三角形全等
吗？为什么？
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三
角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
为什么？
口答：
• 如图，已知AC=DF，BC=EF，
• ∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
• 我们知道，证明三角形全等不存
• 在SSA定理.
动脑想一想
A
B
C
D
E
F
• 问题：
• 如果这两个三角形都
是直角三
• 角形，即
∠B=∠E=90°，
• 且AC=DF，BC=EF，
现在能
• 判定△ABC≌△DEF吗
？
A
B
C
D
E
F
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）一
讲授新课
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使
∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到
Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B C
作图探究
画图方法视频
画图思路
（1）先画∠M C′ N=90°
A
B C M C′
N
画图思路
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M C′
N
B′M C′
A
B C
画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M C′
N
B′
A′
A
B C
画图思路
（4）连接A′B′
M C′
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
A
B C
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全
等，但是“边边”指的是斜边和一直
角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
典例精析
例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A B
D C
应用“HL”的前提条件是在
直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的
书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这
是常见的思路.
变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌
△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相
应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
A B
D C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，
BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.
求证：AC=BD.
变式2
HL
AC=BD
Rt△ABD≌Rt△BAC
• 如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,
判断AD和BC的位置关系.
变式3
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD≌Rt△CDB
AD∥BC
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和
△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公
理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，
使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与
右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和
∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
D
A
当堂练习
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则 CH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：
△EBC≌△DCB. A
B C
E D
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与
△ADC （填“全等”或“不全等”），根据
（用简写法）.
全等 HL
A
F CE
D
B
5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
AF=CE.
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.
A F C
E
D
B
G
变式训练1
AB=CD,
AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?
变式训练2
C
AB=CD,
AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm
，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC
的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和
△APQ全等？
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．
(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
能力拓展
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本
题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏
解．
课堂小结
“斜边、
直角边”
内 容
斜边和一条直角边对应相等的两个
直角三角形全等.
前 提
条 件
在直角三角形中
使 用 方 法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条
件中至少有一个条件是一对对应边相等）
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