资料简介
12.2三角形全等的判定
第十二章 全等三角形
第3课时 “角边角”、“角角边”
情境引入
学习目标
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等
．
导入新课
如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其
中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如
果可以,带哪块去合适?
你能说明其中理由吗?
情境引入
32
1
讲授新课
三角形全等的判定（“角边角”定理）一
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢
？
A
B C
A
B C图一 图二
“两角及夹边” “两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角
形全等吗？
作图探究
先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′
=∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′
C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
A
C
B A′ B′
C′
E D
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E相交于
点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“
角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B C
A ′
B ′ C ′
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明： 在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
典例精析
B C
A D
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：
AD=AE.
A
B C
D E
分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
证明：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A（公共角 ），
AC=AB（已知），
∠C=∠B （已知 ），
∴ △ACD≌△ABE（ASA)，
∴AD=AE.
问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm
，你能画出这个三角形吗?
60°
45°
用“角角边”判定三角形全等二
合作探究
60°
思考：
这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它
转化为1中的条件吗？
75°
45°
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
归纳总结
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′ （已知），
AC=A′C ′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
A
B C
A ′
B ′ C ′
例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF．
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
证明： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
∴△ABC≌△DEF（ASA ）.
∴ ∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E,
∴ ∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
例4 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线
m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求
证：(1)△BDA≌△AEC；
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
证明：∵△BDA≌△AEC,
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关
系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线
段之间的转化．
1. △ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使
△ABC≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）
A．AC＝DF B．BC＝EF
C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝
69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（ ）
A．一定不全等 B．一定全等
C．不一定全等 D．以上都不对
当堂练习
A
B
A
B
C
D
E
F
3.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件
，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）.
∠B=∠E
或∠A=∠D
或 AC=DF
（ASA）
（AAS）
（SAS）
AB=DE可以吗？ ×
AB∥DE
4.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD.
A
C
DB
1 2证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边），
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是
否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的
三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗
?
32
1
答：带1去，因为有两角且夹边相等
的两个三角形全等.
能力提升：已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分
别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出
你的发现.
A
B CD
A ′
B ′ C ′D ′
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形
对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B CD
A ′
B ′ C ′D ′
全等三角形对应边上的高也
相等.
课堂小结
边 角 边
角 角 边
内 容 有两角及夹边对应相等的两个三角形
全等（简写成 “ASA”)
应 用 为证明线段和角相等提供了新的证法
注 意 注意“角角边”、“角边角”中
两角与边的区别
查看更多
