资料简介
12.2三角形全等的判定
第十二章 全等三角形
第2课时 “边角边”
情境引入
学习目标
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重点）
2．会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．（重
点）
3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．（难点）
1.回顾三角形全等的判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为
“边边边”或“SSS”）.
在△ABC和△ DEF中
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
AB=DE
BC=EF
CA=FD
2.符号语言表达：
A
B CD
E F
当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:
三角 ×
三边 √
两边一角 ？
两角一边
除了SSS外,还有其他情况吗？
讲授新课
三角形全等的判定（“边角边”定理）一
问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B C
A
B C
“两边及夹角” “两边和其中一边的对角”
它们能判定两个三角
形全等吗？
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，
∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′
剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A B
C
探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等
A B
C
A′ D
E
B′
C′
作法：
（1）画∠DA'E=∠A；
（2）在射线A'E上截取
A'C'=AC ,在射线A'D上截取
A'B'=AB ；
（3）连接B'C '.
思考：
① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？
如何验证？
②这两个三角形全等是满
足哪三个条件？
在△ABC 和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）．
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
知识要点
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =AF ，
A B
C
D E
F
必 须 是 两 边
“ 夹 角”
例1 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析: △ ABD ≌△ CBD.
边:
角:
边:
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
典例精析
证明： 在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)， ∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，
变式1:
已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2.
求证:(1) AD=CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
A
DB
C
1
2 4
3
在△ABD与△CBD中，证明:
∴△ABD≌△CBD（SAS），
AB=CB (已知），
∠1=∠2 （已知），
BD=BD （公共边），
∴AD=CD，∠3=∠4，
∴DB 平分∠ ADC.
A
B
C
D
变式2:
已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，求证:∠A=∠C.
1
2
在△ABD与△CBD中，
证明:
∴△ABD≌△CBD（SAS），
AD=CD (已知），
∠1=∠2 （已证），
BD=BD （公共边），
∴∠A=∠C.
∵DB 平分∠ ADC，
∴∠1=∠2.
例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个
可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并
延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为
什么?
C·
A
E D
B证明：在△ABC 和△DEC 中，
∴△ABC ≌△DEC（SAS），∴AB =DE
，
（全等三角形的对应边相等）.
AC = DC（已知），
∠ACB =∠DCE （对顶角相等），
CB=EC（已知） ，
证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应
边或对应角来解决.
归纳
已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D.
证明:∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)，
即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中,
AB＝DB(已知)，
∠ABC＝∠DBE(已证)，
CB＝EB(已知)，
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
A
1
2 CB
D
E
想一想：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住
长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C D
△ABC和△ABD满足
AB=AB ,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC与
△ABD不全等.
探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等
• 画一画：
• 画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE
• =5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？
A B
M
C
D
A B
C
A B
D
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定
全等.
结论
例3 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )
典例精析
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，
只有选项C的条件不符合，故选C.
C
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形
不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三
角形全等的．
5 cm
cm 8
ﺭ
º
30
Ⅱ
5 cm
cm 8
ﺭ
º
30
5 cm
8 cm
Ⅷ
9 cm
8 cm
º
30
ﺭ
Ⅲ
8 cm
8 cm
30º
ﺭ
Ⅲ
5 cm
8 cm
8 cm
8 cm
30º
ﺭ
9 cm
8 cm
º
30
ﺭ
Ⅰ
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
当堂练习
• 2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的
条件是 ( )
• A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
• C.∠A=∠C D.∠ABD＝∠EBC
D
3.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明： ∵AD//BC，
∴ ∠A=∠C，
∵AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴AE+EF=CF+EF，
即 AF=CE.
(已知），
(已证），
(已证），
4.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，
求证：BD=CD.
证明： ∵AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
(已知），
(已证），
(已证），
∴ BD=CD.
已知：如图，AB=AC, BD=CD，
求证： ∠ BAD= ∠ CAD.
变式1
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点，
求证： BE=CE.
变式2
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AE=AE
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，
求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明:
CA=CB (已知）
AD=BD （已知）
CD=CD （公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
能力提升
连接CD，如图所示；
∴∠A=∠B
又∵M，N分别是CA，CB的中点，
∴AM=BN
在△AMD与△BND中
AM=BN (已证）
∠A=∠B （已证）
AD=BD （已知）
∴△AMD≌△BND（SAS）
∴DM=DN.
课堂小结
边 角 边
内 容
有两边及夹角对应相等的两个三角
形全等（简写成 “SAS”)
应 用 为证明线段和角相等提供了新的证法
注 意
1.已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找
这角的另一夹边
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