资料简介
11.3.2 多边形的内角和
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
情境引入
学习目标
1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.
（重点）
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
（难点）
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想
象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
导入新课
情景引入
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
问题1 三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°.
都是360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
讲授新课
多边形的内角和一
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
猜想与证明
方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形
变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
这四种方法都运用了转化
思想，把四边形分割成三
角形，转化到已经学了的
三角形内角和求解.
结论： 四边形的内角和为360°.
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试
说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+
∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，因为
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
典例精析
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分
∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形． 运用了整体思想
A
C
D
E
B
A
B
C D
E
F
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方
法求五边形和六边形内角和吗?
内角和为180° ×3 = 540°. 内角和为180° ×4 = 720°.
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和分割出三角形的
个数
从多边形的一顶点引出的
对角线条数图形边数
······
0
n -3
1
2
3
1
2
3
4
n -2 （ n -2 ）·180º
1×180º=180º
2×180º=360º
3×180º=540º
4×180º=720º
······ ······ ············
由特殊到一般
分割
多边形 三角形
分割点与多边形的
位置关系
顶点 边上 内部 外部
转化思想
总结归纳
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边
形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则
（n-2）•180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
（8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
典例精析
例3 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说
法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
解：∵360°÷180°=2，
630°÷180°=3......90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4．
故甲同学说的边数n是4；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用
列方程的方法确定x．
解：依题意有
（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°
，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多
少度？他求的是几边形的内角和？
解：设此多边形的内角和为x，
则有1125°＜x＜1125°＋180°，
即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，
因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，
所以x＝180°×7＝1260°.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间.
例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP
平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．
解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D,
∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平
分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求
得∠P的度数．
可运用了整
体思想
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，
∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ ∠EAB，
同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
=180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°．
多边形的外角和二
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外
角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5×180°=900°
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A五边形外角和
=360 °
=5个平角 －五边形内角和
=5×180° －(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和
．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗
？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练：
(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是
______边形.
六
正八
典例精析
例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的
2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n-2)•180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n－2)•180°=2× 360º.
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都
是7:2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,根据题意得
7x+2x=180，
解得 x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形. 还有其他解
法吗？
解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得
解得n=9.
答：这个多边形是九边形.
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边
形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是360°，
则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．
例6 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．
解：由题意得
AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°，
所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
当堂练习
1.判断．
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于
______．120°
3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°
，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，
他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米
．150
4.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °
D
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °
B
6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到
的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10，
∴原多边形边数为10＋2＝12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，
可能不变，也可能加1，
∴新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋
∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.
8 9
课堂小结
多边形的
内角和
内 角 和 计 算
公 式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
外 角 和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
正 多
边 形
内角= ，外角=
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