资料简介
11.2.2 三角形的外角
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
情境引入
学习目标
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和及三角形的内角和．（重点）
4.会利用三角形的外角性质解决问题.
导入新课
复习引入
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
48 °
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
它们的和是180 °.
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,
则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B C D
50 ° 130°
B
D C
AO
● 40 ° 70 °
？ ●
● ●
问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方
式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的
去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ，
∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D C
AO
● 40 ° 70 °
？ ●
● ●
由三角形内角和易得
∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70 ° ，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
讲授新课
三角形的外角的概念一
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一
边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
CB
A
D
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是
不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
CB
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，
∠DCE不是△ABC的一个外
角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少
个外角？
A
B C
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有6个外
角．
每一个顶点相对应的外
角都有2个，且这2个角为
对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
CB
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
F
A
B C
D
E
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？
∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
练一练
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
三角形的外角的性质二
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)
有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明
此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B C
12 ∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
三角形内角和定理的推论
A
B C D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B C D
(
(
(
80 °
60 ° ( 21
(1)
A
B C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 °
例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
典例精析
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用
外角的性质即可求出∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，
求∠BDC的度数.
A
B C
D
(
(
(
51 °
20 ° 30 °
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B C
D
(
(
20 ° 30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1 2
)
3
)
4
你发现了什么结
论？
A
B C
D
(
(
(
51 °
20 ° 30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，
把未知角与已知角联系起来求解.
总结
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图 图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
三角形的外
角大于与它
不相邻的内
角.
三角形的外角和三
例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法
吗？
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
M
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于
（ ）
F
A BE
C D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
3.（1）如图，∠BDC是________
的外角,也是 的外角；
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B C
D E
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°
，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180º-40º-70º=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B CD
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180º.
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
能力提升：
1
2
3
B A
C P
N
M
D E
F
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
=________.360°
课堂小结
三角形的
外角
定 义 角一边必须是三角形的一边，另一边
必须是三角形另一边的延长线
性 质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和
三角形的外
角 和 三角形的外角和等于360 °
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