资料简介
第2课时 解三角形的实际应用举例
——高度、角度问题
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的
建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测
量飞机下方山顶的海拔高度呢？
今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问
题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，
保持一定的航速和航向呢？
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解
决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.
(重点)
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解
决一些有关计算角度的实际问题.(难点)
探究点1 测量底部不可到达的建筑物的高度
例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑
物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
分析：如图，求AB长
的关键是先求AE，在
△ACE中，如能求出C
点到建筑物顶部A的距
离CA，再测出由C点观
察A的仰角，就可以计
算出AE的长.
解: 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同
一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角
分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在
△ACD中，根据正弦定理可得
如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转
时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄
在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0
处，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按
顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端
点A移动的距离AA0）（精确到1mm）.
【变式练习】
分析：此题可转化为“已知在△ABC中，BC＝85 mm，
AB＝340 mm，∠ACB＝80°，求AA0 ．”
解：如图,在△ABC中，由正弦
定理可得：
又由正弦定理：
答：活塞移动的距离约为81 mm．
例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的
俯角 α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角
β=50°1′ ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出
山高CD(精确到1 m).
根据已知条件,大家能设
计出解题方案吗？
分析:
若在ΔABD中求BD，则关
键需要求出哪条边呢？
那又如何求BD边呢？
解：在△ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,
∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
答：山的高度约为150米.
把测量数据代入上式，得
CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m).
.
思考:有没有别的解题思
路呢？
先在△ABC中，
根据正弦定理求得
AC.再在△ACD中求
CD即可.
3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离
堤足1.2 m的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地
方，求堤对地面的倾斜角α. (精确到0.01°）
【变式练习】
答：堤对地面的倾斜角α为63.77°.
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正
西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西
偏北15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此
山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山
的高CD(精确到1 m).
解：在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°-
15°=10°.
根据正弦定理，
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m).
答：山的高约为1 047米.
正确转化为
数学模型
【变式练习】
例4 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航
行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东
32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航
行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,
需要航行的距离是
多少?(角度精确到
0.1°,距离精确到
0.01 n mile)
探究点2 测量角度问题
分析：首先求出AC边所对的角∠ABC，即可用余
弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB
边的夹角∠CAB.
解：在 △ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°
，根据余弦定理，
根据正弦定理,
解：如图，在△ABC中，由余弦定理
得：
我舰在敌岛A南偏西50°的方向上，且与敌岛A
相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西
10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需
以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌
舰？(精确到1°）
A
C
B
40°
50°
10°
【变式练习】
所以我舰的追击速度为14海里/小时.
答：我舰需以14海里/小时的速度，沿北偏东
12°方向航行才能用2小时追上敌舰.
7
1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题
及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料
中加工、抽取主要因素，并进行适当简化.
实际问题 抽象概括
示意图
数学模型
推
理
演
算
数学模型的
解实际问题的
解
还原说明
2.实际问题处理
3. 解三角形在实际测量中的常见应用
求
距
离
求
高
度
两点A，B间不
可达又不可视
两点A，B间可
视但不可达
两点A，B都不
可达
底部可达 底部不可达
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。黑发
不知勤学早，白首方悔读书迟。
——颜真卿
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