资料简介
22.2 二次函数与一元二次方程/
22.2 二次函数与一元二次
方程
人教版 数学 九年级 上册
22.2 二次函数与一元二次方程/
以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，
小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小
球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具
有函数关系 h = 20t - 5t 2．
（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？ 如果能，需要多少
飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需要
多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？ 为什么？
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
导入新知
22.2 二次函数与一元二次方程/
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
1.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会
方程与函数之间的联系.
2.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的
根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实
根、两个相等的实数和没有实根.
素养目标
22.2 二次函数与一元二次方程/
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角
的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，
如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：
m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
二次函数与一元二次方程的关系
探究新知
知识点 1
22.2 二次函数与一元二次方程/
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多
少飞行时间？
O
h
t
15
1 3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指
出为什么在两个时
间求的高度为15m吗
？
探究新知
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（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需
要多少飞行时间？
你能结合图形指出为
什么只在一个时间球
的高度为20m？
O
h
t
20
4
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它
的高度为20米.
h=20t-5t2
探究新知
解：
22.2 二次函数与一元二次方程/
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要
多少飞行时间？
O
h
t
你能结合图形指
出为什么球不能
达到20.5m的高度
?
20.5
解：20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1 0
△ = 0
△ < 0 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则 b2 – 4ac ≥ 0 △= b2 – 4ac 探究新知 二次函数与一元二次方程的关系（2）
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△＞0
△=0△＜0
o x
y
△ = b2 – 4acy=ax2+bx+c
那么a 0
有两个重合的交点 有两个相等的
实数根 b2-4ac = 0
没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系 探究新知
22.2 二次函数与一元二次方程/
例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整
数，求正整数m的值．
解：(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点；
利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定
字母的值（范围）
素 养 考 点 2
探究新知
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已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k
的取值范围是 ．
巩固练习
3.
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例3 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面
的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平
距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水
平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达
到3m？为什么？
二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用素 养 考 点 3
探究新知
22.2 二次函数与一元二次方程/
解： 由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的
水平距离是1m或5m.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位
置的水平距离是多少？
探究新知
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（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初
始位置的水平距离是多少？
解：由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位
置的水平距离是3m.
探究新知
22.2 二次函数与一元二次方程/
解：由抛物线的表达式得
即
因为
所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么
？
探究新知
22.2 二次函数与一元二次方程/
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了
.
探究新知
22.2 二次函数与一元二次方程/
如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的
喷水头，喷出的水呈抛物线状，
可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所
示的直角坐标系中，求水流的落地点D到
A的距离是多少？
解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0，
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)
答：水流的落地点D到A的距离是5m.
分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵
坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离.
即y=0 .
巩固练习
3.
22.2 二次函数与一元二次方程/
求一元二次方程 的根的近似值（精
确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，
然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次
方程的方法叫做图象法.
利用二次函数求一元二次方程的近似解
探究新知
知识点 3
22.2 二次函数与一元二次方程/
解：画出函数 y=x²-2x-1 的
图象（如下图），由图象可
知，方程有两个实数根，一
个在-1与0之间,另一个在2
与3之间.
探究新知
求一元二次方程 的根的近似值（精
确到0.1）.
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先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是
-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应
的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使
y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1
，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为
接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.
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22.2 二次函数与一元二次方程/
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个
在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算
器确定其近似值);
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
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一元二次方程的图象解法
22.2 二次函数与一元二次方程/
根据下列表格的对应值:
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一
个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24
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