资料简介
3.1.3 概率的基本性质
第三章 §3.1 随机事件的概率
1.正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、
对立事件的概念；
2.理解并熟记概率的基本性质；
3.会用概率的性质求某些事件的概率.
问题导学 题型探究 达标检测
学习目标
知识点一 事件的关系
问题导学 新知探究 点点落实
思考 一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数大于4}，事件B＝{出现的
点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生吗？
答案 因为5>4，故B发生时A一定发生.
答案
一般地，对于事件A与事件B，如果事件 发生，则事件 一定发生，这时
称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作 (或A⊆B).不可能
事件记为∅，任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生，则事件B一定
发生，反之也成立，(若 ，且 )，我们说这两个事件相等，即A＝
B.
A B
B⊇A
B⊇A A⊆B
思考 一粒骰子掷一次，记事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出
现的点数小于3}，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，
D至少有一个发生时呢？
知识点二 事件的运算
答案 事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点
数为2，事件C，D至少一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6.
答案
一般地，关于事件的运算，有下表：
答案
定义 表示法
事
件
的
运
算
并
事
件
若某事件发生当且仅当 ，
则称此事件为事件A与事件B的 (或 )
或
交
事
件
若某事件发生当且仅当 ，
则称此事件为事件A与事件B的 (或 )
(或 )
事件A发生或事件B发生
并事件 和事件
A∪B A＋B
事件A发生且事件B发生
交事件 积事件
A∩B AB
知识点三 互斥与对立的概念
思考 一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点
数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4}，则E∩F是什么事件？E∪F呢？
G∩F呢？G∪F呢？
答案 E∩F＝不可能事件，E∪F＝{出现的点数大于2}，E，F互斥，但
不对立；
G∩F＝不可能事件，G∪F＝必然事件，G，F互斥，且对立.
答案
一般地，有下表：
答案
互斥
事件
若A∩B为 ，那么称
事件A与事件B互斥
若 ，则A与B互斥
对立
事件
若A∩B为 ，A∪B为
，那么称事件A与事件B互为对
立事件
若A∩B＝∅，且A∪B＝U，
则A与B对立
不可能事件
A∩B＝∅
不可能事件
必然事件
知识点四 概率的基本性质
思考 概率的取值范围是什么？为什么？
答案 概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1；
由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，
所以频率在0～1之间，
因而概率的取值范围也在0～1之间.
答案
返回
一般地，概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为 .
(2) 的概率为1， 的概率为0.
(3)概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ .
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝ .
P(A∪B)＝ ，P(A∩B)＝ .
答案
[0,1]
必然事件 不可能事件
P(A)＋P(B)
1－P(B)
1 0
类型一 事件的关系与运算
题型探究 重点难点 个个击破
解析答案
例1 判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
解 是互斥事件.
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男
生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥
事件.
解析答案
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
解 不是互斥事件.
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生
”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女
生”两种结果，它们可能同时发生.
解析答案
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
解 不是互斥事件.
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男
生”，这与“全是男生”可能同时发生.
解析答案反思与感悟
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.
解 是互斥事件.
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生
”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生.
如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含
结果组成的集合彼此互不相交.
反思与感悟
跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？
哪些是对立事件？
事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；
事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环.
解析答案
解 A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是
对立事件(至少一个发生).
类型二 概率的几个基本性质
解析答案
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
解析答案反思与感悟
事件C是事件A与事件B的并事件，且事件A与事件B互斥，因此可用互斥事
件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)＝1－P(C).
反思与感悟
解析答案
解 设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得
类型三 事件关系与概率性质的简单应用
例3 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为
0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
解析答案
解 记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为
事件C，“他乘飞机”为事件D.
这四个事件两两不可能同时发生，
故它们彼此互斥，
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)求他不乘轮船去的概率；
解析答案
解 设他不乘轮船去的概率为P，则
P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解析答案
解 由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.
反思与感悟
对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件.当这些事件彼
此互斥时，即可用概率加法公式.
反思与感悟
解析答案
(2)甲不输的概率.
解析答案 返回
1.给出以下结论：
①互斥事件一定对立；
②对立事件一定互斥；
③互斥事件不一定对立；
④事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率；
⑤事件A与事件B互斥，则有P(A)＝1－P(B).
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
达标检测 1 2 3 4 5
解析答案
解析 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；
又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；
只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，
∴⑤错.
答案 C
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”
为事件B，则( )
A.A⊆B
B.A＝B
C.A∪B表示向上的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的点数是1或2或3
C
解析 设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，
∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.
解析答案
3.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的
事件是( )
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
1 2 3 4 5
解析答案
解析 A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它
们不是互斥事件，所以A项不符合题意；
B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件
且是对立事件，所以B项不符合题意；
C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是
互斥事件，所以C项不符合题意；
D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红
球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意.
答案 D
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
4.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，中一等奖的概率
为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为( )
A.0 B.1 C.0.65 D.0.35
解析答案
解析 中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，
所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
C
1 2 3 4 5
B
解析答案
规律与方法
1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别
又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个
发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能
两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它
们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.
2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的
情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
3.求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.
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