资料简介
第三章 圆
回顾与思考（第1课时）
一、知识结构
圆
基本概念
与性质
与圆有关的
位置关系
与圆有关的
计算
定义
对称性
点与圆的位置关系
弧长
确定圆的条件
圆周角与圆心角的关系
垂径定理
圆心角、弧、弦的关系
直线与圆的位置关
系
圆的内接四边形
扇形面积
切线长
定理
内接正多边
形
圆是 对称图形，任何一条直径所在的
直线都是它的 ；圆又是 对称
图形， 是它的对称中心.
二、知识点回顾
圆的对称性
轴
对称轴 中心
圆心
O
垂径定理
•垂直于弦的直径平分 ，并且平分
；
•平分弦（不是直径）的 垂直于弦，
并且平分 .
·O
A B
D
E
这条弦
弦所对的两条弧
直径
弦所对的两条弧
∵ CD是直径,
∴AE=BE,
⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
CD⊥AB,
C
证明线段或弧相等的重要定理
•在同圆或等圆中，如果两个
，两条 ，两条 ，中有一组
量 ，那么它们所对应的
其余各组量都分别 .
圆心角、弧、弦的关系
·O A
B
A′
B′
•在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，
所对的 相等。
弧
弦
圆心角 弧 弦
相等
相等
同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所
对弧的圆心角 .
圆周角定理
·
A
C
B
O ·A
C1
O
C2
C3
B
相等
度数的一半
直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦
是 .
直角
直径
1.点与圆的位置关系
① d r，
② d r
③ d r.
2. 直线与圆的位置关系
① d r，
② d r
③ d r.
与圆有关的位置关系
r
·O
A
P
P
P
·
l
O
r
l
l
点P在圆外
点P在圆上
点P在圆内
>
=
< 直线和⊙O相交 直线和⊙O相切 直线和⊙O相离 < = >
圆的切线的性质
圆的切线 过切点的半径；
经过 的外端，并且 这条
的直线是圆的切线.
·O
lA∵l是⊙O的切线，
切点为A，OA是⊙O的直径，
∴OA⊥l
圆的切线的判定
垂直于
·O
A l
半径 垂直于
半径
∵OA是⊙O的半径, l⊥OA于A,
∴ l是⊙O的切线.
切线长定理
A
P
O。
B
从圆外一点所画的圆的两条
切线的长相等。
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB
圆的内接多边形
A
B C
D
圆的内接四边
形对角互补
圆的内接正多边形
弧长与扇形面积的计算
·O
n°
1°
n°的圆心角所对的弧长计算公式为 .
n°的圆心角所在的扇形面积为
。
三、精选精练
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知
∠ACO=30°，∠B=_______．
『要点』通过辅助线的添加，建立同弧所对的
圆周角及圆心角或直径所对的圆周角，实现所
求对象的转换。
60 °
B
A
O
C
B
A
O
C
D
法一：连接OA 法二：延长CO交⊙O于D，连
接DA
2. 如图2，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角
∠ACB=30°，则⊙O的直径等于______cm.
B
C
O
A
D
3.6
『要点』当所求对象非显性存在时，可先将
其作出，并寻找与之相关的已知条件
连接AO，并延长交⊙O于D
，连接BD，
∴∠D=∠C=30° ，
∵AD是直径，∴∠B=90° ，
3、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD
分别交AB于点E、F, 且AE=BF，请你找出线
段OE与OF的数量关系，并给予证明。
『要点』图形呈轴对称性时，可利用垂径定
理求解，也可利用半径和弦组成的等腰三角
形的对称性求解
O
A B
C D
E F
O
A B
C D
E F
4、某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工人
王师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长
就计算出了圆环的面积，王师傅是怎样算的？
请你用圆的相关知识加以解释。
『要点』遇到相切问题经常需要作出过切点
的半径，垂径定理往往需要建立的直角三角
形，并利用勾股定理求解三边。
O
A BC
连接圆心O与切点C，连接AO ，
∵OC⊥AB,
∴在△AOC中，AO2-OC2=AC2,
∴S圆环面积=π(AO2-OC2)=πAC2,
60 °
『要点』过圆外一点可作两条与圆相切的直
线，该点与两切点的距离相等，且OO’平分
∠AOB
5、如图，过圆外一点O作⊙O′的两条切线OA、
OB，A、B是切点，且OO’圆O半径长两倍，则
∠AOB=______
O
A
B
O’
6、如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°，延长
斜边AB到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是
⊙O切线。
『要点』求证圆的切线问题除了需要作出过
切点的半径，还要注意观察图形的特征，例
如包涵的特殊三角形的性质。
OA B
C
D
证明：连OC，如图，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠COB=60°，
∵△COB为等边三角形，∴BC=BO，
而BD等于⊙O半径，
∴BC=BO=BD，
∴△OCD为直角三角形，即∠OCD=90°，
所以DC是⊙O切线．
四、课堂小结
1.本章知识结构和重点内容；
2.观察——猜想——关联；
3.转化的数学思想在解决圆的问题时的
相关应用。
五、课后作业
完成课本复习题知识技能1-14题.
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