资料简介
第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
【自主预习】
1.数学归纳法的定义
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的
所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当____时命题成立.
n=n0
(2)假设当__________________时命题成立,证明______
时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0
的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
n=k(k∈N+,且k≥n0) n=k+1
2.数学归纳法的步骤
【即时小测】
1.下列四个判断中,正确的是 ( )
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时为1+k
C.式子 (n∈N*)当n=1时为
D.设f(n)= (n∈N*),则f(k+1)=
【解析】选C.A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时应为
1+k,故A不正确;B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时
应为1,故B不正确;C.式子 (n∈N*)
当n=1时为 正确;
D.设f(n)= (n∈N*),则f(k+1)=
故D不正确.
2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)
=2n·1·3·…·(2n-1)”,当“n从k到k+1”左端需
增乘的代数式为( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
【解析】选B.当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k),
当n=k+1时,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2),
故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为
=2(2k+1).
【知识探究】
探究点 数学归纳法
1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?
提示:不一定.
2.在用数学归纳法证明数学命题时,只有第一步或只有
第二步可以吗?为什么?
提示:不可以.这两个步骤缺一不可,只完成步骤①而缺
少步骤②,就作出判断可能得出不正确的结论.因为单
靠步骤①,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否
正确,我们无法判定.同样,只有步骤②而缺少步骤①时,
也可能得出不正确的结论,缺少步骤①这个基础,假设
就失去了成立的前提,步骤②也就没有意义了.
【归纳总结】
1.数学归纳法的适用范围
数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不
能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳
法证明.
2.数学归纳法中两步的作用
在数学归纳法中第一步“验证n=n0时命题成立”是奠基,
是推理证明的基础,第二步是假设与递推,保证了推理
的延续性.
3.运用数学归纳法的关键
运用归纳假设是关键,在使用归纳假设时,应分析p(k)
与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手
段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行
局部调整.
类型一 利用数学归纳法证明恒等式
【典例】已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1
(n≥2,n∈N+)
(1)求a2,a3.
(2)求证:an=
【解题探究】本例中当n=k+1时,ak+1与ak的关系式是什
么?
提示:由an=3n-1+an-1可知ak+1=3k+ak.
【解析】(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13.
(2)用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1= ,所以命题成立.
②假设n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即ak= ,
那么当n=k+1时,
ak+1=ak+3k=
即n=k+1时,命题也成立.
由①②知命题对n∈N+都成立.
【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的注意点
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要
准确表达n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到
n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证
明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.
【变式训练】1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1
= a≠1,n∈N*”,在验证n=1成立时,左边计算
所得项是 ( )
A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
【解析】选C.因为n=1时,n+1=2,所以左边计算所得
项是1+a+a2
2.看下面的证明是否正确,如果不正确,指出错误的原
因,并加以改正.
用数学归纳法证明:
1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边= =1,等式成立.
(2)假设n=k时,等式成立,即1-2+4-8+…+(-1)k-12k-1
=(-1)k-1·
则当n=k+1时,有
1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k·2k
这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)与(2)知,对任意n∈N+等式成立.
【解析】从上面的证明过程可以看出,是用数学归纳法
证明等式成立.在第二步中,证n=k+1时没有用上假设,
而是直接利用等比数列的求和公式,这是错误的.第二
步正确证法应为:
当n=k+1时,1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k2k
=(-1)k-1· +(-1)k·2k
=-(-1)k· +(-1)k·2k+
=
即当n=k+1时,等式也成立.
类型二 利用数学归纳法证明整除问题
【典例】设x∈N+,n∈N+,求证:xn+2+(x+1)2n+1能被
x2+x+1整除.
【解题探究】证明一个与n有关的式子f(n)能被另一个
数m(或一个代数式g(m))整除的关键是什么?
提示:关键是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到被除
式中分解出的(x2+x+1).
【证明】(1)当n=1时,x3+(x+1)3=[x+(x+1)]·[x2-
x(x+1)+(x+1)2]=(2x+1)(x2+x+1),结论成立.
(2)假设n=k时,结论成立,即
xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1整除,
那么当n=k+1时,
x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1=x·xk+2+(x+1)2(x+1)2k+1
=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x+1)2(x+1)2k+1-x(x+1)2k+1
=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x2+x+1)(x+1)2k+1.
由假设知,xk+2+(x+1)2k+1及x2+x+1均能被x2+x+1整除,故
x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1能被x2+x+1整除,即n=k+1时,结论
也成立.
由(1)(2)知,原结论成立.
【延伸探究】
1.若将本例中的代数式xn+2+(x+1)2n+1和x2+x+1分别改为
42n+1+3n+2和13,如何证明?
【证明】(1)当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.
(2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
因为42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,
所以当n=k+1时结论也成立.
由(1)(2)知,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.
2.若把本例改为求证:两个连续正整数的积能被2整除.
【证明】设n∈N+,则要证明n(n+1)能被2整除.
(1)当n=1时,1×(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即k·(k+1)能
被2整除.
那么当n=k+1时
,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),
由归纳假设知k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.
所以(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+都成立.
【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题的关键点
(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减
项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假
设、凑结论,从而利用归纳假设使问题获证.
(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明,其中
关键问题是从n=k+1时的表达式中分解出n=k时的表达
式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.
【变式训练】
1.用数学归纳法证明“n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除”
时,某同学证法如下:
(1)n=1时1×2×3=6能被6整除,
所以n=1时命题成立.
(2)假设n=k时成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么
n=k+1时,
(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+2)[k+(k+3)]
=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3).
因为k,k+1,k+2和k+1,k+2,k+3分别是三个连续自然数.
所以其积能被6整除.故n=k+1时命题成立.
综合(1),(2),对一切n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除.
这种证明不是数学归纳法,主要原因是_________.
【解析】由证明过程知,在证明当n=k+1命题成立的过
程中,没有应用归纳假设,故不是数学归纳法.
答案:在证明当n=k+1命题成立的过程中没有应用归纳
假设
2.证明:62n-1+1能被7整除(n∈N+).
【证明】(1)当n=1时,62-1+1=7能被7整除.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,62k-1+1能被7整除.
那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1
=36(62k-1+1)-35.
因为62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,
所以当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除.
由(1),(2)知命题成立.
类型三 用数学归纳法证明几何问题
【典例】平面上有n(n∈N+,n≥2)条直线,其中任意
两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,
求证:这n条直线共有f(n)= 个交点.
【解题探究】本例中的初始值应该验证哪个值?
提示:题中的初始值验证应该结合题目中的n≥2,所以
需要验证n=2.
【证明】(1)当n=2时,两条不平行的直线共有1个交点,
而f(2)= =1,所以命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时命题成立,就是该平
面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)=
k(k-1),则当n=k+1时,任取其中一条直线记为l,
如图,剩下的k条直线为l1,l2,…,lk.
由归纳假设知,它们之间的交点个数为f(k)= .
由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点,
所以直线l与l1,l2,l3,…,lk的交点共有k个.
所以f(k+1)=f(k)+k=
所以当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+且n≥2都成立.
【延伸探究】本例中若把条件“n≥2”删掉,其余不变,
你能证明这n条直线把平面分成f(n)= 个部分吗?
【证明】(1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分,
而f(1)= =2,所以命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k条直线把平面
分成
f(k)= 个部分.
则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相
交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三
条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,
且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成(k+1)
段,每一段把它所在的平面区域分成两部分,故新增加
了(k+1)个部分.
因为f(k+1)=f(k)+k+1= +k+1
= = ,
所以当n=k+1时,命题成立.
由(1)(2)可知,当n∈N+时,命题成立.
【方法技巧】利用数学归纳法证明几何问题的技巧
(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式,然后加
以证明,探索的方法是由特殊n=1,2,3,…,猜出一般结
论.
(2)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n=k
与n=k+1时二者的差异,这时常常借助于图形的直观性,
然后用数学式子予以描述,建立起f(k)与f(k+1)之间的
递推关系,实在分析不出的情况下,将n=k+1和n=k分别
代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需
稍加说明即可.
(3)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合
寻找公式,还要注意结论要有必要的文字说明.
【变式训练】1.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1
边形的内角和f(k+1)=f(k)+ ( )
A. B.π
C.2π D. π
【解析】选B.由n=3到n=4知内角和增加π.
2.已知n个圆中每两个圆相交于两点,且无三圆过同一
点,用数学归纳法证明这n个圆把平面分成n2-n+2部分.
【证明】(1)当n=1时,1个圆把平面分成两部分,而2=12
-1+2,所以当n=1时,命题成立.
(2)假设n=k时,命题成立,即k个圆把平面分成k2-k+2部
分.
当n=k+1时,平面上增加第k+1个圆,它与原来的k个圆中
的每个圆都相交于两个不同点,共2k个交点,而这2k个
交点把第k+1个圆分成2k段弧,每段弧把原来的区域隔
成了两块区域,所以区域的块数增加了2k块.
所以k+1个圆把平面划分的块数为
(k2-k+2)+2k=k2+k+2=(k+1)2-(k+1)+2,
所以当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)(2)知,命题对n∈N+都成立.
自我纠错 恒等式项数问题
【典例】设f(n)=1+ + +…+ (n∈N+),
求f(n+1)-f(n)的表达式.
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是利用数学归纳法处理问题时,
弄错项数而致误.实际上在取第n+1项时,f(n+1)比f(n)
应增加了三项: + + .
【解析】因为f(n)=1+ + +…+ ,
所以f(n+1)=1+ + +…+ + + + ,
所以f(n+1)-f(n)= + + .
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