资料简介
*4.5 相似三角形判定定理的证明
第四章 图形的相似
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会证明相似三角形判定定理;(重点)
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.(难点)
导入新课
问题:相似三角形的判定方法有哪些?
① 两角对应相等,两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
讲授新课
证明相似三角形的判定定理一
在上两节中,我们探索了三角形相似的条件,稍候我们将对
它们进行证明.
定理1:两角分别相等的两个三角形相似.
已知:如图,在 △ABC 和
△A'B'C' 中,∠A = ∠A',
∠B =∠B'.
求证:△ABC ∽△A'B'C'.
A′
B′ C′
A
B C
A′
B′ C′
A
B C
证明:在 △ABC 的边 AB
(或它的延长线)上截取
AD =A'B',过点D作BC的
平行线,交 AC 于点E,则
∠1=∠B,∠2 =∠C,
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴ ∴
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形.∴ DE = CF.
∴ ∴
ED
F
1 2
而 ∠ 1 = ∠ B,∠ DAE = ∠ BAC,∠ 2=∠ C,
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A',∠ ADE = ∠ B =∠ B',AD = A'B',
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' .
∴ △ABC ∽△A'B'C.
A′
B′ C′
A
B C
ED
F
1 2
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知:如图,在△ABC 和△A'B'C' 中,∠A =∠ A',
求证:△ABC ∽ △A'B'C'.
A′
B′ C′
A
B C
ED 1 2
证明:在△ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取 AD = A'B',
过点 D 作 BC 的平行线,交 AC 于点 E,则
则∠ B = ∠ 1, ∠ C = ∠ 2,
∴ △ABC ∽ △ADE ∴
∵ ,AD = A'B',
∴ ∴
∴ AE =A'C'. 而 ∠ A=∠ A',
∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
A′
B′ C′
A
B C
ED 1 2
定理3:三边成比例的两个三角形相似.
已知:如图,在 △ABC 和△A'B'C' 中,
求证:△ABC ∽ △A'B'C' .
A′
B′ C′
A
C
ED
B
证明:在△ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取 AD = A'B',
过点 D 作 BC 的平行线,交 AC 于点 E,则
∵ ,AD = A'B',AE = A'C',
∴ 而 ∠ BAC =∠ DAE,
∴ △ABC ∽△ADE.∴
又 ,AD = A'B',
∴ ∴
∴ DE = B'C'.
∴ △ADE ≌ △A'B'C' .
∴ △ABC ∽△A'B'C' .
A′
B′ C′
A
C
ED
B
相似三角形判定定理的运用 二
例:已知:如图,∠ABD=∠C,AD=2, AC=8,求AB.
C D A
B
解: ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC = AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD = 2 , AC = 8,
∴ AB = 4.
1.如下图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是
( )
① ② ③ ④
①③
当堂练习
2.已知:如图,在四边形ABCD中,∠B=∠ACD,AB=6,
BC=4,AC=5,CD= ,求AD的长.
解: ∵ AB=6,BC=4,AC=5,CD =
∴
又∠B =∠ACD,
∴△ABC∽△DCA,
∴
∴AD=
A
B C
D
相似三角形判定
定理的证明
定理1:两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理
证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角
形相似.
定理3:三边成比例的两个三角形相似.
课堂小结
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