资料简介
第4章 图形的相似
学习新知 检测反馈
九年级数学上 新课标 [北师]
如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河
对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选
定点B和C,使AB⊥BC,然后选点E,使EC⊥BC,用视
线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=140
m,DC=70 m,EC=60 m,就得出了两岸间的大致距
离AB,即河的宽度是120 m.你知道他们这样做的
道理吗? △ABD和△ECD之间存在什么关系?如何
求AB的值?
如图所示,∠1=∠2,添加一个条件:
,使得△ADE∽△ACB.
学 习 新 知
已知:在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',
∠B=∠B'.
求证:△ABC∽△A'B'C'.
定理:两角分别相等的两个三角形相似
【思路提示】 在△ABC的边AB上截取
AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E,过
点D作AC的平行线,交BC于点F,证明四边形
DFCE是平行四边形,再得到三组成比例线段,
最后由定义得出两个三角形相似的结论.
检测反馈
证明:在△ABC的边AB(或它的延
长线)上截取AD=A'B',过点D作
BC的平行线,交AC于点E,过点D
作AC的平行线,交BC于点F,
则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE=CF.
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A'B',
当给出的已知条件以角为主时,常考虑使用
“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方
法判定两个三角形相似.
知识拓展
如图所示,若∠A=∠D,
∠B=∠E,则△ABC∽△DEF.
使用这个条件时,“两角对应相等”中的“
对应”二字是可以去掉的,只要一个三角形的
两个角与另一个三角形的两个角分别相等,那
么这两个三角形就一定相似.
定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形
相似
已知:在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',
求证:△ABC∽△A'B'C'.
∵∠A=∠A',
∴△ADE≌△A'B'C'.
证明:在△ABC的边AB上截取AD=A'B',在
AC上截取AE=A'C',连接DE.
∴DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴△ABC∽△A'B'C'.
定理:三边成比例的两个三角形相似
已知:在△ABC和△A'B'C'中,
求证:△ABC∽△A'B'C'.
证明:在△ABC的边AB,AC(或
它们的延长线)上分别截取
AD=A'B',AE=A'C',连接DE.
而∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角
相等的两个三角形相似).
∴DE=B'C'.∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
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1.下列各组图形有可能不相似的是 ( )
A.有一个角等于50°的两个直角三角形相似
B.有一个角等于60°的两个等腰三角形相似
C.有一个角等于50°的两个等腰三角形相似
D.有一个角等于120°的两个等腰三角形相似
解析:有一个角等于50°的两个直角三角形相似,符合
判定定理1,故选项A正确;有一个角等于60°的两个等
腰三角形相似,符合判定定理1,故选项B正确;有一个角
等于50°的等腰三角形,可能顶角是50°,也可能底角
是50°,故不一定相似,故选项C错误;有一个角等于
120°的两个等腰三角形相似,符合判定定理1,故选项D
正确.故选C.
C
2.如图所示,D是△ABC的边AB上一点(D不
与A,B重合),在条件:
(1)∠ACD=∠B,(2)AC2=AD·AB,(3)AB边上与点
C距离相等的点D有两个,(4)∠B=∠ACB中,一定
使△ABC∽△ACD的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
(1)∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,∴△
ABC∽△ACD;
解析:
又∵∠CAD=∠BAC,∴△ABC∽△ACD;
(3)∵AB边上与点C距离相等的点D有两个,∴CD
长不确定,那么符合条件的点有很多,不固定,那
么△ACD的形状也无法确定,也就无法证明
△ACD∽△ABC;
(4)∵∠B=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形,而
△ACD不一定是等腰三角形,故两三角形不一
定相似.故选B.
3.从下面这些三角形中,选出相似的三角形.
①⑤⑥相似,②⑦相似,③④⑧相似.
4.如图所示,已知△ABD∽△ACE,求证
△ABC∽△ADE.
解析:由于△ABD∽△ACE,因此
∠BAD=∠CAE,因此∠BAC=∠DAE,
又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC,
∠DAE=∠DAC+∠CAE,
证明:∵△ABD∽△ACE,∴∠BAD=∠CAE.
∴∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC∽△ADE.
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