资料简介
3.三个正数的算术-几何平均不等式
【自主预习】
1.三个正数的算术-几何平均不等式(定理3)
如果a,b,c∈R+,那么 ≥_______,当且仅当
______时,等号成立.
a=b=c
2.基本不等式的推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们
的几何平均,即 ___ ,当且
仅当___________时,等号成立.
≥
a1=a2=…=an
【即时小测】
1.函数y=2x2+ (x∈R+)的最小值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选A.因为x∈R+,所以
当且仅当x=1时等号成立.
2.若n>0,则 的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选C.因为
所以
当且仅当n=4时等号成立.
3.若a>b>0,则a+ 的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以
当且仅当(a-b)=b= 时等号成立.
答案:3
【知识探究】
探究点 三个正数的算术-几何平均不等式
1.不等式 成立时,a,b,c的范围是什么?
提示:a>0,b>0,c>0.
2.应用三个正数的算术-几何平均不等式,求最值应注
意什么?
提示:三个正数的和为定值,积有最大值;积为定值,和
有最小值.求最值时应注意三个条件“一正、二定、三
相等”同时具备.
【归纳总结】
1.定理3的变形及结论
(1)abc≤ .
(2)a3+b3+c3≥3abc.
(3)
上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.
2.利用定理3可确定代数式或函数的最值
(1)若a,b,c∈R+,且积abc为定值s时,由a+b+c≥
(定值),当且仅当a=b=c时,和a+b+c有最小值3 .
(2)若a,b,c∈R+,且和a+b+c为定值p时,由abc≤
(定值),当且仅当a=b=c时,积abc有最大值 p3.
类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值
【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x 的最大值.
2.求函数y=x+ (x>1)的最小值.
【解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值?
提示:可将式子(1-3x)2·x化为 (1-3x)(1-3x)·6x
的形式.
2.典例2中如何构造式子,使其积为定值?
提示:可将式子x+ 化为
则其积 为常数.
【解析】1.因为00,
所以y=(1-3x)2·x= (1-3x)·(1-3x)·6x
当且仅当1-3x=1-3x=6x,
即x= 时等号成立,此时ymax= .
2.因为x>1,所以x-1>0,
当且仅当
即x=3时等号成立,即ymin=4.
【延伸探究】1.若将典例1中的条件变为“y=x(1-x2)
(00),则B(1,-1),代入抛物线方程可得
2p=1,所以抛物线方程为x2=-y,因为CD=2x,所以D(x,-
x2),
所以梯形的高为1-x2,梯形的面积为S=(x+1)(1-x2),
x∈(0,1),
S=(x+1)(1-x2)= (x+1)2(2-2x)
≤
当且仅当x+1=2-2x,即x= 时,S的最大值是 .
答案:
2.已知x>0,求y= +3x的最小值.
【解析】因为x>0,所以y=
当且仅当 即x=2时等号成立.故y= +3x
的最小值为9.
类型二 利用三个正数的算术-几何平均不等式证明
不等式
【典例】设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+
【解题探究】典例可分几次使用不等式?
提示:分两次使用不等式.
【证明】因为a,b,c为正实数,所以a3+b3+c3≥
=3abc>0,当且仅当a=b=c时,等号成立.又3abc+
当且仅当3abc= 时,等号成立.所以a3+b3+c3+
【方法技巧】证明不等式的方法
(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,
看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可
利用平均不等式证明.
(2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造
出能利用三个正数的基本不等式的式子.
【变式训练】1.已知x,y均为正数,且x>y,求证:
2x+ ≥2y+3.
【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,
所以2x+ -2y=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
等号成立的条件是 =x-y,即x-y=1.
所以2x+ ≥2y+3.
2.(2016·哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足
a>b>c>d,求证:
【证明】因为a>b>c>d,所以a-b>0,b-c>0,
c-d>0,a-d>0,所以
= [(a-b)+(b-c)+(c-d)]
≥
当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,即
【补偿训练】设a,b,c∈R+,求证:
【证明】因为
当且仅当c= 时取等号,所以原不等式成立.
拓展类型 平均不等式在解应用题中的应用
【典例】如图所示,在一张半径是2米的
圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,
灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;
挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.
由物理学知道,桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到
桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这
一点到光源的距离r的平方成反比.即E=k .
这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎
样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?
【解析】因为r= ,所以E=
所以E2= ·sin2θ·cos4θ= ·
(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ
当且仅当2sin2θ=cos2θ时取等号,即tan2θ= ,tanθ=
,
所以h=2tanθ= ,即h= 米时,E最大,此时桌子边缘
处最亮.故当灯的高度为 米时,才能使桌子边缘处最
亮.
【方法技巧】用不等式解决应用问题的方法
解应用问题的关键是读懂题意,建立适当的函数关系式,
把所求问题转化为求函数的最值问题,并将函数式配凑
成可以利用平均不等式的形式.
【变式训练】1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内
的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是
_________.
【解析】设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别
是x,y,z,三角形的面积为S.则S= (3x+4y+5z),又因为
32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=
×3×4=6,
所以3x+4y+5z=2×6=12,
所以 ≤3x+4y+5z=12,所以(xyz)max= .
当且仅当3x=4y=5z,即x= ,y=1,z= 时等号成立.
答案:
2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售
量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系
式y= +10(x-6)2,其中3
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