资料简介
21.3 实际问题与一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
第2课时 平均变化率问题与一元二次方程
学习目标
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型
.（难点）
导入新课
问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次
月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20% ，第三
次月考又增长了20% ，问他第三次数学成绩是多少？
第二次数学成绩：75×(1+20%)=90
第三次数学成绩：90×(1+20%)=108
或第三次数学成绩：
75×(1+20%) 2=108
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种
药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生
产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成
本是3600 元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
探究归纳
下降率=下降前的量-下降后的量
下降前的量
平均变化率问题与一元二次方程一
讲授新课
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额
为(5000-3000)÷2=1000(元)，乙种药品成本的年平均下
降额为(6000-3600)÷2=1200(元)，显然，乙种药品成本
的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同
于年平均下降率(百分数).
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲
种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为
5000(1-x)2元，于是有
5000(1-x)2=3000
解方程，得
x1≈0.225， x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的
年平均下降率约为22.5%.
设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药
品成本为6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为
6000(1-y)2元，于是有
6000(1-y)2=3600
解方程，得
y1≈0.225， y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的
年平均下降率约为22.5%.
由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下
降率相同.
例1 前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产
技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，
试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲产品的年平均下降率为x.根据题意，
列方程，得
3600 ( 1－x )2 = 1764，
解方程，得 x1=0.3，x2=1.7.
根据问题的实际意义，甲产品成本的年平均下降
率约为30％.
注意 下降率不可为负，且不大于1.
变式：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知
两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到
0.1% ）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
例2 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，
盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，
为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学
生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如
果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，
求这个增长率.
解：设增长率为x，根据题意，得
20（1+x）2=24.2.
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．
答：增长率为10%.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
问题 你能总结出有关增长率和降低率的有
关数量关系吗？
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普
遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分
率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次
后的量是b，则它们的数量关系可表示为
a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200
万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平
均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50% .
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
整理方程，得 4x2+12x-7=0，
解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5= 50% .
填空：假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时，
可卖100件.
(1)此时的利润w= 元；
(2)若售价涨了1元，每件利润为_____元，同时少卖
了10件，销售量为_____件，利润w=_____元;
(3)若售价涨了2元，每件利润为_____元，同时少卖
了20件，销售量为____件，利润w=_____元;
100
2
90 180
3
80 240
合作探究
营销问题与一元二次方程二
(4)若售价涨了3元，每件利润为____元，同时少卖
了30件，销售量为____件，利润w=______元;
(5)若售价涨了x元，每件利润为________元，同时
少卖了____件，销售量为__________ 件，利润
w=______________元.
4
(1+x)
70
(100-
10x)
10x
280
(1+x)(100-
10x)想一想 若想售卖这种商品获取利润300元，则每件
商品应涨价多少元？
解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300
，解得x1=4,x2=5.
即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.
变式训练
假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖
100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖
这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5
倍，则每千克糖应涨价多少元？
解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，
解得x1=4,x2=12.
∵售价不高于成本价的2.5倍，
即x+12≤2.5×8. ∴x≤8. ∴x=4.
题目中
有限定条件时，
要注意取舍.
注意
即每千克糖应涨价4元.
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10，x2=20
答：每件衬衫应降价10元或20元.
例4 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件
盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场
平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，
每件衬衫应降价多少元？
增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈
利1200元，每件衬衫应降价多少元？
变式训练
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10，x2=20
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.
1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；
2.根据利润=销量×单件利润列方程；
3.解方程；
4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等
条件，进行取舍；
5.作答.
要点归纳
用一元二次方程解决营销问题的一般步骤
当堂练习
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为
720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的
投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上
的平均增长率是x，则可列方程为 .
B
2(1+x)+2(1+x)2=8
3.青山村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今
年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年
平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
系数化为1得，
直接开平方得，
则
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10% .
7200(1+x)2=8712
(1+x)2=1.21
1+x=1.1，1+x=-1.1
x1=0.1= 10% ，x2=-2.1，（舍去）
4.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，
能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减
少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时
应进货为多少个？
根据每件商品的利润×件数=8000，
分析：设每件商品涨价x元，则商品单价为_______元，
则每个商品的利润为_______________元，
因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其
销售量会减少_____个，故销售量为___________个，
可列方程为_______________________________.
[(50+x)－40]
(500－10x)10x
(50+x)
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000
解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销
售量为(500－10x)个，则
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000，
整理得 x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30都符合题意.
当x=10时，50+x =60，500－10 x=400；
当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为
60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量
应为200个.
5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对
外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜
滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次
下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得 x1=20% ，x2=1.8 （舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%.
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李
伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九
折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问
小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
能力提升
为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近
期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25
万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）
和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销
售单价不得高于35万元，如果该
公司想获得130万元的月利润，那
么该设备的销售单价应是多少万
元？
（2）依题知（x-25）（-5x+200）=130．
整理方程，得x2-65x+1026=0．
解得x1=27，x2=38．
∵此设备的销售单价不得高于35万元，
∴x2=38（舍），所以x=27．
答：该设备的销售单价应是27 万元．
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
依题意，得
解得
所以y与x的函数关系式为y=-5x+200．
课堂小结
平
均
变
化
率
问
题
增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增
长前的量，x为增长率，
2为增长次数，b为增长
后的量.
降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前
的量，x为降低率，2为降
低次数，b为降低后的量.
注意1与x位置不可调换.
营销问题
常用公式：总利润=单件利
润×销量=（售价-进价）×
销量
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