资料简介
21.3 实际问题与一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
第1课时 传播问题与一元二次方程
学习目标
1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一
元二次方程.（重点）
2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）
3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解
决问题.
视频引入
导入新课
知道了传染病的特征和防护措施，那你知道传染病
是如何传染的吗？
讲授新课
传播问题与一元二次方程一
引例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121
人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传
染源记作A，其传染示意图如下：
合作探究
第2轮
•••
A
1
2
x
第1轮 第1轮传染后人数
x+1
A
第2轮传染后人数
x(x+1)+x+1
注意：不要
忽视A的二次
传染
x1= , x2= .
根据示意图，列表如下：
解方程，得解方程，得
答：平均一个人传染了答：平均一个人传染了________________个人个人..
10 -12 (不合题意,舍去)
10
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(1+x)2=121
注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所
以一定要进行检验.
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2
根据题意，得根据题意，得
想一想：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有
多少人患流感?
第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一
次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331人.
第一轮传染后
的人数
第二轮传染后的
人数
第三轮传染后的
人数
(1+x)1 (1+x)2
分析
第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是：
(1+x)3=(1+10)3=1331人.
(1+x)3
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又
长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是
133，每个支干长出多少小分支?
主
干
支干支干 ……
小
分
支
小
分
支
…
…
小
分
支
小
分
支
…
………
x
x x
1
解：设每个支干长出x个小分支，
则 1+x+x2=133
即x2+x-132=0
解得，
x1=11，x2=－12(不合题意，舍去
)答：每个支干长出11个小分支.
交流讨论
1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？
每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
方法归纳
建立一元二
次方程模型实际问题 分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二
次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
例2 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两
班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个
班级参赛？
解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场
比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一
场，故根据题意得
解得 x1＝6，x2＝－5(舍去)．∴x＝6.
答：共有6个班级参赛．
某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次
手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？
解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，
共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得
解得 x1＝5，x2＝－4(舍去)．∴x＝5.
答：共有5个人参加聚会．
练一练
握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了
一次，所以要在总数的基础上除以2.
归纳
【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，
采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计
划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？
解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场
比赛，根据题意得
解得 x1＝9，x2＝－8(舍去)．∴x＝9.
答：共有9个班级参赛．
关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进
行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的
场数等于总场数列等量关系.
归纳
例3 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的
平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
解：设这个两位数个位数字为 x ，则十位数字为(x－3)
，根据题意得
解得 x1＝5，x2＝6．
答：这个两位数是25或36.
∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.
解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准
确的表达出原数.
归纳
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺
卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级
一班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A.x2=1980 B. x(x+1)=1980
C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支
的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可
列方程为（ ）
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73
当堂练习
D
B
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲
肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后
128人患上甲肝，则x的值为（ ）
A.10 B.9 C.8 D.7
D
4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转
发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发
表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个
好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发
倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个
人参与了传播活动，则n=______.10
5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班
之间共比赛了6场，则初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
化简，得 x2-x-12=0
解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）
答：初三有4个班.
传染源 本轮分裂成有
益菌数目
本轮结束有益
菌总数
第一轮
第二轮
第三轮
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
60 60x 60(1+x)
60(1+x) 60(1+x)x
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，
经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每
一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有
益菌？
解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
60+60x+60(1+x)x=24000
x1=19，x2=-21（舍去）
∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，
经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每
一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有
益菌？
（2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.
7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个
数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与
原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的
数字为(5－x)，
解得 x1=2 ，x2=3.
答：原来的两位数是23或32.
依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736
当x＝2时，5－x=3；
当x＝3时，5－x=2；
课堂小结
列一元
二次方
程解应
用题
与列一元一次方程解决实际问
题基本相同.不同的地方要检
验根的合理性.
传 播 问 题
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×
(1+每次传播数量)
第二轮传播后的量=第一轮传播后
的量×(1+每次传播数量)=传播前的
量×(1+每次传播数量)2
数 字 问 题
握 手 问 题
互赠照片
问 题
关键要设数位上的数字，要准确地
表示出原数.
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次
进行，所以总数要除以2.
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张
照片，故总数不要除以2.
步 骤
类 型
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