资料简介
21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决
问题.（难点）
导入新课
韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号
系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作
用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为
“代数学之父”.
历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，
荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时
的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数
学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达
当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的
22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之
震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思
苦想了好多天才把它解出来.
韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个
根与系数之间关系的韦达定理.
情景引入
复习引入
算一算 解下列方程并完成填空：
(1)x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
-4 1
2 3
-1
x1+x2=-3 x1 · x2=-4
x1+x2=5 x1 · x2=6
想一想 方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？
讲授新课
探索一元二次方程的根与系数的关系一
猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有
x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为
已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形
式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2= -p， x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你
可以发现什么结论？
你能证明这
个猜测吗？
证一证：
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0.
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系的应用二
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两
根之积.
（1）x2 – 6x – 15 = 0；
解：这里 a = 1 , b = – 6 , c = – 15 .
Δ = b2 - 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么
x1 + x2 = –( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 .
（2）3x2 +7x-9 = 0；
x1 + x2 =- ， x1 x2 =
解：这里 a = 3 , b = 7, c = -9.
Δ=b2 - 4ac = 72 – 4 × 3 × (-9) = 157 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
（3） 5x – 1 = 4x2 .
解：方程可化为 4x2 – 5x +1 =0，
这里 a =4， b = – 5，c = 1.
Δ = b2 - 4ac =( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = ， x1 x2 = .
在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先
把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 .
归纳
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个
根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以 x1 · x2=2x2=
即 x2=
由于x1+x2=2+ =
得 k=－7.
答：方程的另一个根是 ，k=－7.
变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它
的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以 x1 + x2=1+x2=6，
即 x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得 m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、
倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：
(1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ，
(3) ，
(4) .
4 1
14
12
练一练
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将
所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再
整体代入.
归纳
总结常见的求值:
例4 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，
且x1
2 +x2
2 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2
.
∴ x1
2 + x2
2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x1
2 + x2
2 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4，
解得 k1= 0， k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.所以k=0.
根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待
定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，
即所求的字母应该满足△≥0.
归纳
当堂练习
1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2
和 1 ，则p = ， q= .1 -2
2.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个
根是___，m =____.-3
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一
个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16，
设另一个根为x1，则：
1 × x1 =
∴x1 =
4.已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且
(x1+1)(x2+1)=4；
(1)求k的值； (2)求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系得
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得 k=-7.
(2)因为k=-7,所以
则：
5.设x1，x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之
间的关系，求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：根据根与系数的关系得：
(1)(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
(2)
6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1，x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
拓展提升
由根与系数的关系，得
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m -2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|= 1， 求m的值.
解：(1)方程有实数根
∵m≠0，
∴m的取值范围为m＞0.
(2)∵方程有实数根x1，x2
，
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
，
解得m=8.
经检验m=8是方程的解．
课堂小结
根与系数的关
系（韦达定理）
内容
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是
x1、 x2，那么
应用
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