资料简介
21.1 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各
项系数.
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型
.（重、难点）
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问
题.(重点）
情景引入
雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉
献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多
处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗
？
导入新课
设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以
上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部
AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所
示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程.
A
C
B
解：列方程得
整理得 x
2 + 2x - 4 = 0．①
x
2 = 2(2 - x )，
导入新课
想一想，上述方程与以往我们学过
的方程有什么联系和区别？ x m
(2 - x ) m
等量关系：AC：BC=BC：AB
即BC2=2AC
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四
角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，
就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为
3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
100cm
50cm
x
3600cm2
一元二次方程的概念一
讲授新课
解：设切去的正方形的边长为
xcm，
则盒底的长为(100－2x)cm，
宽为(50－2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm2，得
化简，得 ②
该方程中未
知数的个数
和最高次数
各是多少？
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都
要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安
排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少
个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
化简，得： 该方程中未知数
的个数和最高次
数各是多少？
③
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三
个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共
同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②都只含一个未知数;
③未知数的最高次数都是2.
x2-75x＋350=0 ②
x2 + 2x - 4 = 0 ①
x2-x-56=0 ③
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一
元二次方程.
知识要点
一元二次方程的概念
ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数.
bx 称为一次项， b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
一元二次方程的一般形式是
视频：一元二次方程一般式
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、
c 可以为零吗？
当 a = 0 时 bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时
，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时
，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时
，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
例1 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（
）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
化简整理成
12x+10=0
提示 判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方
程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中
是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0
×
× ×
×
×
×
(1) x2+ x=36
注意：未限定a≠0
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2； (2) (a－1)x|a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0
，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方
程；
(2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程
是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：
根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的
方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a－4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；
（2）当a=2 且b ≠0时，是一元一次方程．
方法点拨：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：
1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；
2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次
方程未知数最高次数是2.
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形
式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数
项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项
是-10.
系数和项均包含前面的符号.注意
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点
不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别
与联系？
ax=b (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0)
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
一元二次方程的根二
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
做一元二次方程的解（又叫做根）.
试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6 14 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个
根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0,
9+4a=0,
4a=-9,
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程
的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方
程，求解即可得到字母的值.
变式：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得：
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观
察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的
一部分看作一个整体，代入求值．
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三
条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横
向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成
小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的
宽应为多少？
32
2
0
x
建立一元二次方程模型三
1.若设小路的宽是xm，则横向
小路的面积是______m2，纵向
小路的面积是 m2,两
者重叠的面积是 m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出
方程吗？
整理以上方程可得
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0
32
2
0
x
想一想：
还有其他的方法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570 32-2x
2
0
-
x
32
2
0
审
建立一元二次方程模型的一般步骤
设 找 列
审题，弄
清已知量
与未知量
之间的关
系
设未知数 找出等量
关系
根据等量
关系列方
程
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
√
×
√
×
×
√
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
2.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
01 3
13
-54 0
-53 -2
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2(k－1)x＋2k＋ 2＝0
，
当k 时，是一元二次方程．
当k 时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
4.（1）已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值
为___________;
（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
二次项系数不
为零不容忽视
解：将x=0代入方程得m2-4=0，
解得m=±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述：m =2.
5.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的
方程（其中π取3）；
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得 200cm
150cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量
为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥
有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的
年平均增长率为x，
整理，得
根据题意，得
拓广探索
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的
一个根为1， 求a+b+c的值.
解：由题意得
思考：1.若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是x=1.
2. 若 a-b +c=0，4a+2b +c=0 ，你能通过观察，求出
方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根吗? x=-1 x=2
课堂小结
一 元 二
次 方 程
概 念
① 是整式方程；
② 只含一个未知数；
③ 未知数的最高次数是2.
一般形
式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次
方程的必要条件；
根
使方程左右两边相等的
未知数的值.
建立一元二
次方程模型 审→设→找→列
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