资料简介
23.1
锐角的三角函数
第
23
章 解直角三角形
1.
锐角的三角函数
第
1
课时 正切
1.
理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）
2.
能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；
(
重点
)
3.
了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题
.
（难点）
学习目标
智者乐水，仁者乐山
图片欣赏
导入新课
思考：
衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
陡
陡意味着倾斜程度大！
想一想
:
你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
铅直高度
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为
倾斜角
从梯子的顶端
A
到墙角
C
的距离，称为梯子的
铅直高度
从梯子的底端
B
到墙角
C
的距离，称为梯子的
水平宽度
A
C
B
讲授新课
正切的定义
一
相关概念
问题
1:
你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
合作探究
1
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大
——
梯子越陡
问题
2:
如图，梯子
AB
和
EF
哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度一样，水平宽度
越小
，梯子
越陡
当水平宽度一样，铅直高度
越大
，梯子
越陡
甲
乙
问题
3:
如图，梯子
AB
和
EF
哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度与水平宽度的
比相等
时，
梯子
一样陡
3m
6m
D
E
F
C
2m
B
4m
A
问题
4:
如图，梯子
AB
和
EF
哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度与水平宽度的
比
越大
，梯子
越陡
.
3m
2m
6m
5m
A
B
C
D
E
F
倾斜角
越大
，梯子
越陡
.
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离
B
1
C
1
,
进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
A
C
1
C
2
B
2
B
1
合作探究
2
两个直角三角形相似
(1)Rt△
AB
1
C
1
和
Rt△
AB
2
C
2
有什么关系
?
(3)
如果改变
B
2
在梯子上的位置
(
如
B
3
C
3
)
呢
?
思考：
由此你得出什么结论
?
A
B
1
C
2
C
1
B
2
C
3
B
3
想一想
相等
相似
三角形的对应边相等
在
Rt△ABC
中
,
如果锐角
A
确定，那么∠
A
的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠
A
的
正切
,
记作
tanA,
即
A
B
C
∠A
的对边
∠A
的邻边
┌
tanA=
归纳总结
结论：
tanA
的值越大，梯子越陡
.
定义中的几点说明：
1.
初中阶段，
正切
是在
直角三角形
中定义的，
∠
A
是一个
锐角
.
2.
tanA
是一个完整的符号，它表示∠A的正切
.
但∠BAC的正切表示为:
t
an∠BAC
.
∠1的正切表示为:
tan∠1
.
3.
tanA﹥0
且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比
（
注意顺序：
）
.
4.
tanA
不表示
“
tan”
乘以
“
A ”
.
5.
tanA
的大小只与
∠
A
的大小有关，而与
直角三角形的边长
无关.
A
B
C
┌
锐角
A
的正切值可以等于
1
吗？为什么？可以大于
1
吗？
对于锐角
A
的每一个确定的值，
tan
A
都有唯一的确定的值与它对应
.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
议一议
例
1
：
下图表示两个自动扶梯
,
哪一个自动扶梯比较陡
?
解
:
甲梯中
,
β
6m
┐
乙
8m
α
5m
┌
甲
13m
乙梯中
,
∵tanβ
＞
tanα,∴
乙梯更陡
.
提示
:
在生活中
,
常用一个锐角的
正切
表示梯子的
倾斜程度
.
典例精析
1.
在
Rt△ABC
中，
∠
C=
90
°
，
AC=7
，
BC=5
，则
tan
A=______
，
tan
B =______
．
练一练
互余两锐角的正切值互为倒数
.
2.
下图中∠
ACB
=90°
，
CD
⊥
AB
,
垂足为
D
.指出∠
A
和∠
B
的对边、邻边.
A
B
C
D
(1)
tanA =
=
AC
( )
CD
(
)
(2)
tanB=
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
4.
如图
,
在
Rt△
ABC
中
,
锐角
A
的对边和邻边同时扩大
100
倍
,tan
A
的值（ ）
A.
扩大
100
倍
B.
缩小
100
倍
C.
不变
D.
不能确定
A
B
C
┌
C
3.
已知∠
A
,∠
B
为锐角，
(1)
若∠
A
=∠
B
,
则
tan
A
tan
B
;
(2)
若
tan
A
=tan
B
,
则∠
A
∠
B
.
=
=
正切通常也用来描述山坡的坡度
.
坡度、坡角
二
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡
.
例如，
有一山坡在水平方向上每前进
100m
就升高
60m,
那么山坡的
坡度
i
(
即
tanα)
就是
:
坡角
：坡面与水平面的夹角
α
称为
坡角
；
坡度（坡比）
：坡面
的
铅直高度与水平宽度的比称
为
坡度
i
(
或坡比
),
即
坡度等于坡角的正切
.
100m
60m
┌
α
i
概念学习
例
2
如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( )
解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，
B
【方法总结】
理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
例
2
如图，在
Rt
△
ABC
中，
∠
C
=90
°，
AC
=4
，
BC
=3
，求
tan
A
和
tan
B
.
B
C
A
解
B
C
A
(1)
在
Rt△ABC
中∠
C=90°
，
BC=5,
AC=12,tanA=( ).
(2)
在
Rt△ABC
中∠
C=90°
，
BC=5,
AB=13,tanA=( ),tanB=( ).
(3)
在
Rt△ABC
中∠
C=90°
，
BC=5,tanA= ,
AC=( ).
1.
完成下列填空：
当堂练习
2.
如图，在边长为
1
的小正方形组成的网格中，
△ABC
的三个顶点均在格点上，则
tanA=
（ ）
A. B.
C. D.
D
这个图呢？
C
A
B
C
A
B
3.
如图
,P
是 的边
OA
上一点，点
P
的坐标为
，则
=__________.
M
记得构造直角三角形哦！
O
P
(12,5)
A
x
y
4.
如图
,
某人从山脚下的点
A
走了
200m
后到达山顶的点
B
.
已知山顶
B
到山脚下的垂直距离是
55m,
求山坡的坡度
(
结果精确到
0.001m).
A
B
C
┌
解：
5.
在等腰△
ABC
中
,
AB
=
AC
=13,
BC
=10,
求
tan
B
.
提示
:
过点
A
作
AD
垂直于
BC
于点
D
.
求锐角三角函数时
,
勾股定理的运用是很重要的
.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点
A
作
AD
⊥
BC
于点
D
，
∴在
Rt△
ABD
中，
易知
BD
=5
，
AD
=12.
6.
在
Rt△
ABC
中
,∠
C
=90°,
AB
=15,tan
A
= ,
求
AC
和
BC
.
4
k
┌
A
C
B
15
3
k
7.
如图
,
正方形
ABCD
的边长为
4,
点
M
在
BC
上
,M
、
N
两点关于对角线
AC
对称
,
若
DM=1
，求
tan∠ADN
的值
.
A
D
B
N
M
C
解：由正方形的性质可知，
∠
ADN=
∠
DNC
，
BC=
DC=
4
，
∵
M
、
N
两点关于对角线
AC
对称
, ∴
DM
=1
BN
=
DM
=1.
如图，在平面直角坐标系中，
P(x,y)
是第一象限内直线
y=-x+6
上的点
,
点
A(5,0)
，
O
是坐标原点，△
PAO
的面积为
S.
（
1
）求
S
与
x
的函数关系式；
（
2
）当
S=10
时
,
求
tan∠PAO
的值
.
M
能力提升
解：
(1)
过点
P
作
PM
⊥
OA
于点
M
，
（
2
）当
S=10
时
,
求
tan∠
PAO
的值
.
M
解：
又
∵
点
P
在直线
y=-x+6
上，
∴x=2.
∴AM=OA-OM=5-2=3.
课堂小结
正切
定义
坡度
∠
A
越大，
tanA
越大
,
梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
23.1
锐角的三角函数
1.
锐角的三角函数
第
2
课时 正弦和余弦
1.
理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计
算；（重点、难点）
2.
在直角三角形中求正弦值、余弦值
. (
重点
)
学习目标
导入新课
回顾与思考
1.
分别求出图中∠
A
，∠
B
的正切值
.
2.
如图，在
Rt△
ABC
中，∠
C
＝
90°
，当锐角
A
确定时，∠
A
的对边与邻边的比就随之确定
.
想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
A
B
C
邻边
b
对边
a
斜边
c
任意画
Rt△
ABC
和
Rt△
A'B'C'
，
使得∠
C
＝∠
C
'
＝
90°
，∠
A
＝∠
A
'
＝
α
，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
讲授新课
正弦的定义
一
合作探究
在图中，由于∠
C
＝∠
C
'
＝
90°
，∠
A
＝∠
A
'
＝
α
，所以
Rt△
ABC
∽Rt△
A
'
B
'
C
'
这就是说，在直角三角形中，当锐角
A
的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠
A
的
对边
与
斜边
的比也是一个
固定值
．
A
B
C
A'
B'
C'
∠
A
的对边与斜边的比叫做
∠
A
的正弦
（
sine
），记作
sin
A
，
即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠
A
的对边记作
a
∠
B
的对边记作
b
∠
C
的对边记作
c
概念学习
典例精析
例
1
如图，在
Rt
△
ABC
中，
∠
B
=90
°，
AC
=200
，
sin
A=
0.6
，求
BC
的长
.
解： 在
Rt
△
ABC
中，
即
∴
BC
=200×0.6=120.
A
B
C
变式：
在
Rt△ABC
中
,∠C=90
°
,BC=20,
求
:△ABC
的周长和面积
.
解
:
在
Rt△ABC
中
,
20
┐
A
B
C
余弦的定义
二
合作探究
任意画
Rt△
ABC
和
Rt△
A'B'C'
，
使得∠
C
＝∠
C
'
＝
90°
，∠
A
＝∠
A'
＝
α
，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B
'
C
'
A
B
C
A'
B
'
C
'
在图中，由于∠
C
＝∠
C
'
＝
90°
，∠
A
＝∠
A'
＝
α
，所以
Rt△
ABC
∽Rt△
A
'
B
'
C
'
这就是说，在直角三角形中，当锐角
A
的
度数一定
时，不管三角形的大小如何，∠
A
的
邻边与斜边的比
也是一个
固定值
．
∠
A
的邻边与斜边的比叫做
∠
A
的余弦（
cosine
）
，记作
cos
A
，即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠
A
的对边记作
a
∠
B
的对边记作
b
∠
C
的对边记作
c
概念学习
例
2
：
如图
:
在等腰△
ABC
中
,AB=AC=5,BC=6.
求
: sinB,cosB,tanB.
老师提示
:
过点
A
作
AD⊥BC
于
D.
5
5
6
A
B
C
┌
D
如图，梯子的倾斜程度与
sinA
和
cosA
有关系吗？
A
sinA
的值越大
,
梯子越
____
;
cosA
的值越
____
,
梯子越陡
.
陡
小
8
10
6
8
10
6
A
议一议
例
3
：
sin70°
，
cos70°
，
tan70°
的大小关系是
(
)
A
．
tan70°
＜
cos70°
＜
sin70°
B
．
cos70°
＜
tan70°
＜
sin70°
C
．
sin70°
＜
cos70°
＜
tan70°
D
．
cos70°
＜
sin70°
＜
tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知
sin70°
＜
1
，
cos70°
＜
1
，
tan70°
＞
1.
又
cos70°
＝
sin20°
，锐角的正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°
＞
sin20°
＝
cos70°.
故选
D.
【方法总结】
当角度在
0°t
乙
．
答：乙先到达B处．
锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单实际问题
课堂小结
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
三角关系
边角关系
仰俯角问题
方位角问题
坡度问题
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