天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 九年级上册 / 第21章 二次根式 / 沪科版九年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数 教学课件
资料简介
沪科版九年级数学上册教学课件
21.1 二次函数
第21章 二次函数与反比例函数
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学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
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雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等
都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系
式表示？
导入新课
情境引入
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视频引入
思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?
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1.什么叫函数
? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变
量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确
定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函
数.
3.一元二次方程的一般形式是什么
？
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数
叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比
例函数.
2.什么是一次函数？正比例函数
？
ax2+bx+c=0 (a≠0)
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问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为
x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2
此式表示了正方体
表面积y与正方体棱长
x之间的关系，对于x
的每一个值，y都有唯
一的一个对应值，即y
是x的函数.
讲授新课
二次函数的定义一
探究归纳
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问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一
块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，
则它的边长应是多少米？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水
面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，
则有
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关
系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个
对应值，即S是x的函数.
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问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每
人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增
加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人
才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？
设增加x 人，这时，则共有 个装配工,每人
每天可少装配_____个玩具，因此，每人每天只装配
个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩
具总数y可表示为y=________________.
(15+x
)
(190－10x)
整理为：
y=－10x2+40x+2850
(190－
10x)(15+x) 此式表示了每天装配玩具总
数y与增加x人之间的关系，对
于x的每一个值，y都有唯一的
一个对应值，即y是x的函数.
10x
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y=6x2
y=－10x2+40x+2850
问题1-3中函数关系式有什么共同点?
想一想
函数都是用
自变量的二次整
式表示的
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二次函数的定义：
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做
二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、
一次项系数和常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常
数项，但不能没有二次项.
归纳总结
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例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x² ③y=x2
④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x+3)²-x²
不一定是，缺少
a≠0的条件.
不是，右边
是分式.
不是，x的最
高次数是3.
y=6x+9
典例精析
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判断一个函数是不是二次函数，先看原函数
和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函
数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊
形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
方法归纳
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想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一
元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别
？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0；
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋
c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,
后者是0.
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二次函数定义的应用二
例2
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由题可知, 解得
（2）由题可知, 解得 m=3.
第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而
得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
注意
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1.已知: ，k取什么值时，y是x的二次
函数？
解：当 =2且k+2≠0，即k=-2时, y是x的二次函数.
变式训练
解： 由题意得：由题意得：
∴m≠±3
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解：解：由题意得：由题意得：
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概
念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
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例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档
次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高
一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整
数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，
每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
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(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求
该产品的质量档次．
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得 x2－18x＋72＝0，
解得 x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，
确定变量，建立函数模型．
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思考：
1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取
值范围是什么？
2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋
180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，
但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题
有意义.
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二次函数的值三
例4 一个二次函数 .
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得 解得
将x=0.5代入函数关系式得 ， （2）当k=2时，
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此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次
项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，
求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入
法将x的值代入其中，求出y的值.
归纳总结
沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(
)
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
C
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项
系数为______，常数项为 .
3．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
C
-3x2
-16 12
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4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .
1
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5.若函数 是二次函数，求：
（1）a的值，
(2) 函数关系式，
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得 解得
（2）当a=-1时，函数关系式为
.
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
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6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的
函数
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长
a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面
积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
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7.某商店销售一种成本为每千克40元的商品，根据市场
分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销
售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的
销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销
售利润分别为多少？
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y
与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）
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8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为
y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
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二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
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21.2 二次函数的图象和性质
1.二次函数y=ax²的图象和性质
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学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象
的特点.（难点）
3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用
.（难点）
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情境引入
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二次函数y=ax2的图象一
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
例1 画出二次函数y=x2的图象.
9 4 1 0 1 94
典例精析
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列
表表示几组对应值：
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2 4-2-4 o
3
6
9
x
y
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面内描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得
到y = x2 的图象．
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-3 3o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的
路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
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练一练：画出函数y=-x2的图象.
y
2 4-2-4 0
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
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根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次
函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
xo
y=x2
议一议
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最低点．
y
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说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
o x
y
y=-x2
1.y＝-x2是一条抛物线;
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最高点．
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1. 顶点都在原点;
3.当a>0时，开口向上；
当a”“＝”或“2
0
=0
1 (0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
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6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次
函数y＝ax2＋k的图象大致为( )
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开
口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
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能力提升
7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大
而增大，则m=____.
8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）
则a=____.
9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）､B两点，与y轴
交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
2
-2
8
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二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图 象 性 质 与y=ax2的关系
1.开口方向由a的符
号决定；
2.k决定顶点位置；
3.对称轴是y轴.
增减性结合
开口方向和
对称轴才能
确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
课堂小结
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21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x+h)²的图象和性质
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情境引入
学习目标
1.会画二次函数y=a(x+h)2的图象.（重点）
2.掌握二次函数y=a(x+h)2的性质.(难点）
3.比较函数y=ax2 与 y=a(x+h)2的联系.
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复习引入
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a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c0 a0,当x< 时，y 随x的增大而减小；当 x> 时，y随x的增大
而增大.
如果a 时，y随x的增大
而减小.
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例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值
随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直
线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，
即b≤1，故选择D .
D
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填一填
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,3) x=1 最大值1
(0,-1) y轴 最大值-1
最小值-6( ,-6) 直线x=
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二次函数字母系数与图象的关系三
合作探究
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根
据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2y=k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 0
b2 ___ 0
＞
＞ ＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＜
＞
＜
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x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示，
请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴
左侧，x＜0 对称轴在y轴
右侧，x＞0
x=0时，
y=c.
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x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，
x=0 对称轴在y轴
右侧，x＞0
x=0时，
y=c.
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二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
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例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下
列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④
(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限
可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－
1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在
y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
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1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A.y轴
B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )D
当堂练习
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O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的
图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
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3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1
是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+cy2.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④
x
y
O 2
x=-1
B
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4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x= 0.5
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顶点：顶点：
对称轴：对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法配方法
公式公式法法
(顶点式)
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21.2 二次函数的图象和性质
*3.二次函数表达式的确定
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学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题
.（重点）
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复习引入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要
已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤
是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
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一般式法二次函数的表达式一
探究归纳
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定
系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个 3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所
列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
讲授新课
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解： 设这个二次函数的表达式是
y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），
（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），
试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1
，b=-4
，c=-
3.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写解析式）
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这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
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例1 一个二次函数的图象经过 (-1, 10)、(1,4)、(2,7)
三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,已
知函数图象经过点(-1, 10)、(1,4)、(2,7)三点，
可得
4a+2b+c=7，
a-b+c=10，
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是 y=2x2-3x+5
a+b+c=4，
c=5，
a=2，
b=-3，
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例2 有一个二次函数,当x=0时, y=－1;当x=－2时,
y=0;当x= 时, y=0,求这个二次函数的解析式.
由题意得：解：设所求的二次函数为 ,2 cbxaxy ++=
解得
所求的二次函数为
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顶点法求二次函数的表达式二
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个
二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点
（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-
3.
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归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做
顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
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例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标
为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，
因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的解析式是
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解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x
轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)
(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数
的表达式.
交点法求二次函数的表达式三
x
y
O 1 2-1-2-3-4 -1-2
-3
-4
-5
1
2
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归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方
法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得
到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
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想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件
？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可
平行于x轴，但不可以平行于y轴.
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特殊条件的二次函数的表达式四
例3.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
∴{ a=2，
c=－5.
解得{ 关于y轴
对称
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已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
做一做
图象经过
原点
8=4a-2b，
5=a-b，∴{
解得a=-1,b=-6.
∴ y=-x2-6x.
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B
C
二次函数与一次函数的综合五
解：如图所示；
例5 ：抛物线 与直线 交于
B,C两点.
（1）在同一平面直角坐标系中
画出直线与抛物线；
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解：由
（2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积；
x
y
O A2-1-2-3 -1
2
1
6
4
8
6
B
C
得点A的坐标为（4,0）
解方程组
得B（2,2）,C（7,4.5）
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x
y
O AB1-1-2-3 -1
2
1
6
4
8
6
B
C
过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2
C1
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练一练 如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a
≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
xO
y
A
O x
y
B
xO
y
C
xO
y
D
A
沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
.
注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a
(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三
者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O 1 2-1-2-3-4 3
2
1
-1
3
4
5
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2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
是 .
顶点坐标是（1，
6）
y=-2(x-1)2+6
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3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)
和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得 b＝3，
c＝－4，
a＝2，
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4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且
过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
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5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴
交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
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(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C
在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或
对称轴或最值
③已知抛物线与x轴
的两个交点
已知条件 所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-
x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
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21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
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1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间
的联系；（重点）
2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；
（重点）
3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会
数形结合思想的应用.（难点）
学习目标
沪科版九年级数学上册教学课件导入新课
情境引入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°
角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，
如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：
m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课
二次函数与一元二次方程的关系一
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多
少飞行时间？
O
h
t
15
1 3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出
为什么在两个时间求
的高度为15m吗？
h=20t-5t2
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（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需
要多少飞行时间？
你能结合图形指出为
什么只在一个时间球
的高度为20m？
O
h
t
20
4
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，
它的高度为20米.
h=20t-5t2
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（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需
要多少飞行时间？
O
h
t
你能结合图形指出
为什么球不能达到
20.5m的高度?
20.5解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1 0
有一个交点 有两个相等的实
数根 b2-4ac = 0
没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系
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例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
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(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总
有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值．
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变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2
与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B
(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都
有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x1
2＋x2
2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
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例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平
距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的
水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置
的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达
到3m？为什么？
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解 （1）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位
置的水平距离是多少？
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（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始
位置的水平距离是多少？
（2）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位
置的水平距离是3m.
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（3）由抛物线的表达式得
即
因为 所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
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一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
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例3：求一元二次方程 的根的近似值（精
确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²+2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²+2x-1 与x
轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从
图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法
叫作图象法.
利用二次函数求一元二次方程的近似解三
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解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如下图），由图象
可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个
在0与1之间.
x
y
0
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先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个
根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：
x … -2.5 -2.4 …
y … 0.25 -0.04 …
观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的
y由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0
，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，
这时取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为
接近0.故x1≈-2.4.
同理可得另一近似值为x2≈0.4.
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一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根
. (1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的
横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,
另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等
分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
方法归纳
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例4:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( )
A．x1≈－2.1， x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9， x2≈0.9
D．x1≈－3， x2≈1
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称
轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的
距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，
x2≈0.5.故选B.
B
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解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再
根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，
直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
方法总结
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判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个
解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24
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