天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 九年级上册 / 第24章 解直角三角形 / 华师版九年级数学上册第24章 解直角三角形 精品教学课件.ppt
资料简介
华师版九年级数学上册教学课件
第24章 解直角三角形
24.1 测 量
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1.能够借助刻度尺等工具进行测量；（重点）
2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度； (重点)
3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.（难点）
学习目标
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当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的
五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
你可能会想到利用相
似三角形的知识来解
决这个问题．
你能设计出一种测
量的方案吗？
导入新课
观察与思考
华师版九年级数学上册教学课件
要求 ：（1）画出测量图形；
（2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量
的数据)；
（3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式.
用不同的方案进行测量
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旗杆影长
A
B C D
E
F
标杆影长
影长法
比例式:
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人
平面镜
平面镜法
比例式:
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A
B C D
E F G
H
标杆法
人
标杆
比例式:
∴AB=AE+EB
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D
A
B
E
1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°；
C
2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；
3.量出测倾器的高度AD=1.5米.
34°
你能利用
这些数据
算出旗杆
的高度吗
？
测倾器法
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D
A
B
E
1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°；
C
2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；
3.量出测倾器的高度AD=1.5米.
34°
B′
C′A′
(精确到0.1米)
你知道计
算的方法
吗？
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D
A
B
E
实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的
高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．
C
我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾
股定理），那么它的边与角又有什么关系？
34°
本章主要
探究的内
容就是直
角三角形
中的边角
关系
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（朝阳中考）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老
师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡
住的E处停止行走；
④测得DE的长就是河宽AB．
请你证明他们做法的正确性．
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【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全
等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的
正确性．
【解答】证明：如图，由做法知：
在Rt△ABC和Rt△EDC中，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），
∴AB=ED，
即他们的做法是正确的．
华师版九年级数学上册教学课件课堂小结
利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻，
物高与影长成比例.
利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理.
构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角
相等.
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24.2 直角三角形的性质
第24章 解直角三角形
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1.理解直角三角形及在实际生活中的应用；（重点）
2.经历直角三角形的性质的猜想、演绎推理、证明过程，体会
探究过程中的乐趣.（难点）
学习目标
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问题1 什么是直角三角形？
有一个内角是直角直角的三角形叫直角三角形．
直角三角形可表示为：Rt△ABCA
C B
斜边
直角边
直
角
边
想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之
间有什么关系？
导入新课
观察与思考
华师版九年级数学上册教学课件
（1）直角三角形的两个锐角_________；互余
（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的
平方.
等于
下面我们探索直角三角形的其他性质
问题2 你知道我们学过了直角三角形的哪些性质？
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1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B=？
∠A＋∠B=90°
2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B= 90º ，那么△ABC是直角
三角形吗？ 是
3. 在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间
有什么关系？
AB2=AC2+BC2
A
B
C
讲授新课
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半一
问题引导
华师版九年级数学上册教学课件
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规
比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个
直角三角形试一试，你的发现相同吗？
我们来验证一下！
A
B
C
D
探究归纳
华师版九年级数学上册教学课件
直角三角形的性质之一
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言表述为：
在Rt△ABC中
∵CD是斜边AB上的中线,
∴CD＝AD＝BD＝ AB.
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
C
B AD
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A
B C
∟
D
【证明】
思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍.
延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.
E∵ CD是斜边AB的中线，
∴ AD=BD.
又∵ DE=CD，
∴ 四边形ACBE是平行四边形.
又∵∠ACB=90⁰，
∴ ACBE是矩形，
∴ CE=AB.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.
求证：CD= AB.
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1.1.已知已知RtRt△△ABCABC中，斜边中，斜边ABAB=10cm=10cm，则斜边上的中线的长为，则斜边上的中线的长为
______.______.
2.2.如图，在如图，在RtRt△△ABCABC中，中，CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线∠∠CDACDA=80°=80°，，
则则∠∠AA=_____ =_____ ，，∠∠BB=_____.=_____.
5cm5cm
50°50° 40°40°
练一练
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例 Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：BC=
AB.
证明： 作斜边上的中线CD，
则CD=AD=BD= AB
（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
∵ ∠A=30°
∴ ∠B=60°
∴ △CDB是等边三角形，
∴ BC=BD= AB
CB
A
D
对此，你对此，你
能得出什能得出什
么结论？么结论？
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半二
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1.如图，在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC,
AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.9
当堂练习
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2.如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点
E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为______.8cm
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3.如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、
ED的中点，试说明：MN⊥DE.
解：连结EM、DM.
∵BD、CE是高，M是BC中点，
∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
∴EM=DM.
又∵N是ED的中点，
∴MN⊥ED
N
M
DE
B C
A
，， BC
2
1
DMBC
2
1
EM ==
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我们学习了直角三角形哪些性质？
性质1 直角三角形两个锐角互余
性质2 直角三角形的勾股定理
性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半
性质4 直角三角形30⁰角所对直角边等
于斜边的一半
课堂小结
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24.3 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数
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1.理解锐角三角函数的定义；（重点）
2.掌握三角函数之间的关系并会计算.（难点）
学习目标
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1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=______.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm,则BC=
，理由是 .
导入新课
回顾与思考
8
5 30°所对直角边是斜边的一半
华师版九年级数学上册教学课件
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝
∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？
A
B
C A'
B'
C'
讲授新课
锐角三角函数定义及三角函数之间的关系
华师版九年级数学上册教学课件
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，
不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个
固定值．
华师版九年级数学上册教学课件
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边
与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
引出定义：
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如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A
的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是
否也确定了呢？为什么？
B
对边a
A C邻边b
斜边c
探究归纳
华师版九年级数学上册教学课件
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝
∠B'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？
A
B
C A'
B'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α，所
以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
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这就是说，在直角三角形中，当锐角∠B的度数一定时，不
管三角形的大小如何，∠B的对边与斜边的比也是一个固定值
．
当锐角∠B的大小确定时，∠B的邻边与斜边的比也是固定的，
我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦（cosine），记作
cosB，即
引出定义：
归纳
华师版九年级数学上册教学课件
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形
结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA是一个比值（数值）.
3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的
边长无关.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
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当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻
边比值也是唯一确定的吗？
探究归纳
华师版九年级数学上册教学课件
在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角
形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
BC
B′C′ A′C′
AC
＝所以
如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α
，问： 有什么关系？
由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC ∽
Rt△A′B′C′
AC
BC
A′C′
B′C′
与
即
AC
BC
A′C′
B′C′
＝
华师版九年级数学上册教学课件
如图,在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的 正切，记作 tanA.
一个角的正切
表示定值、比
值、正值.
归纳
华师版九年级数学上册教学课件
A
B
C
┌
思考：锐角∠A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大
于1吗？
对于锐角∠A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定
的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；可以大于1.
延伸
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1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB可
由哪两条线段比求得.
D
C
BA
解：在Rt△ABC中，
在Rt△BCD中，
因为∠B=∠ACD，所以
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为
求和它相等角的正弦值.
当堂练习
华师版九年级数学上册教学课件
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求
sinA、cosA、tanA的值．
解：∵
又
A
B
C
6
10
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3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、
tanA的值．
解：∵
A
B
C设AC=15k，则AB=17k
所以
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4.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.完成下列填空.
A
B
C
D
(1) tanA = =
AC
( ) CD
( )
(2) tanB= =
BC
( ) CD
( )
BC
AD
BD
AC
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5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，
求：sinA、cosB的值．
A
B
C 8
解：
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在Rt△ABC中
= a
b
tanA=
课堂小结
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定义中应该注意的几个问题:
1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐
角(注意数形结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）.
3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角
三角形的边长无关.
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24.3 锐角三角函数
第2课时 特殊角的三角函数值
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1.掌握特殊锐角的三角函数值；（重点）
2.掌握30°，45°，60°角的三角函数值的推导过程并会计
算.（难点）
学习目标
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1.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= , BC=8，则
AB=_______，AC=_______，sinB=_______，△ABC的周长
是______.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，则∠A=_____，设
AB=k，则AC=_____，BC=_____，sinB= sin45°=____，
cosB =cos45°=____，tanB= tan45°= ____.
导入新课
回顾与思考
10 6
24
45°
1
华师版九年级数学上册教学课件
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正
弦值、余弦值和正切值．
30°
60°
45° 45°
讲授新课
特殊角的三角函数一
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设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
30°
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设两条直角边长为a，则斜边长＝
60°
45°
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30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
归纳：
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1.求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）
解： （1） cos260°＋sin260°
＝1
（2）
＝0
特殊三角函数值的运用三
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2.操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明
站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线
的夹角为30°，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆
的高度了.
1.65米 10米
?
30°
你想知道小明怎样算出的吗？
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1.如图，在△ABC中，∠A=30°，
求AB.
A B
C
D
解：过点C作CD⊥AB于点D
∠A=30°，
当堂练习
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2.求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
解： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
华师版九年级数学上册教学课件
华师版九年级数学上册教学课件
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A、∠B的度数． B
A C
解： 由勾股定理
∴ ∠A=30°
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
华师版九年级数学上册教学课件
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（α为锐角）
对于cosα，角度越大，函数值越小.
课堂小结
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24.3 锐角三角函数
第3课时 用计算器求锐角三角函数值
华师版九年级数学上册教学课件
1.会用计算器求锐角三角函数值；（重点）
2.会用计算器根据三角函数值求锐角度数.（重点）
学习目标
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1.同学们,前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值,
一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢
?
导入新课
回顾与思考
华师版九年级数学上册教学课件
A
1.6m
D
BE 20m
42°
C
2.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗
升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图），若小明
双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
这里的tan42°是多少呢？
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1.求sin18°．
第一步：按计算器 键，sin
第二步：输入角度值18，
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
讲授新课
用计算器求锐角三角函数值一
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tan第一步：按计算器 键，
2.求 tan30°36'.
第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 键），°＇ ″
屏幕显示答案：0.591 398 351
第一种方法：
第二种方法：
tan第一步：按计算器 键，
第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351
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如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应
的锐角．
根据三角函数值求锐角度数二
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例：已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法
操作：
还可以接着按 键，进一步得到
∠A＝30°7'8.97 "
第一步：按计算器 键，SHIFT sin
第二步：然后输入函数值0. 501 8
屏幕显示答案： 30.119 158 67° （按实际需要进行精确）
°＇″
典例精析
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1．用计算器求下列锐角三角函数值；
（1） sin20°= ， cos70°= ；
（2）tan3°8 ' = ，tan80°25'43″=
sin35°= ，cos55°= ；
sin15°32 ' = ，cos74°28 ' =
分析第
1（1）题的
结果，你能
得出什么猜
想，你能说
明你的猜想
吗？
拓广探索
华师版九年级数学上册教学课件
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
归纳：
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1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.6275，sinB＝0.0547；
（2）cosA＝0.6252，cosB＝0.1659；
（3）tanA＝4.8425，tanB＝0.8816.
当堂练习
∠A=38°51′57.3 ″， ∠B=3°8′8.32 ″
∠A=51°18′11.27 ″， ∠B=80°27′1.72 ″
∠A=78°19′55.74 ″， ∠B=41°23′57.84 ″
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A2.下列各式中一定成立的是（ ）
A.tan75°＞tan48°＞tan15°
B. tan75°＜tan48°＜tan15°
C. cos75°＞cos48°＞cos15°
D. sin75°＜sin48°＜sin15°
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1.我们可以用计算器求锐角三角函数值.
2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角.
3.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）;
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
课堂小结
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24.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形及其简单应用
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1.会运用勾股定理解直角三角形；（重点）
2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三
角形；（重点）
3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点）
学习目标
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B
A C
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，
tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中
∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
导入新课
观察与思考
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比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直
中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点
C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝
54.5m.
所以∠A≈5°28′
可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直
中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
A
BC
A
BC
讲授新课
已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用一
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要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所
成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多
少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
（2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
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对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地
面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC
＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于
利用计算器求得
a≈66°
因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子
与地面所成的角大约是66°.
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
A
B
C
α
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在图中的Rt△ABC中，
（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？
A
B
C
α
6
=75°
已知一边和一锐角解直角三角形二
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在图中的Rt△ABC中，
（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？
A
B
C
α
6
2.4
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由 得
问题（2）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
问题（2）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与
地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
所以 BC≈6×0.97≈5.8
由计算器求得 sin75°≈0.97
A
B
α
C
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事实上，在直角三角形的六个元素中，
除直角外，如果再知道两个元素（其
中至少有一个是边），这个三角形就
可以确定下来，这样就可以由已知的
两个元素求出其余的三个元素．
A
Ba
b c
C
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素
的过程．
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1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ,解
这个直角三角形.
解：
A
BC
当堂练习
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2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分
线 ，解这个直角三角形.
D
A
BC
6
解：
因为AD平分∠BAC
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3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
解：根据勾股定理
A
B
Cb=20
a=30c
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在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
(2) ∠B＝72°，c = 14.
A
B C
b
a
c=14
解：
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4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾
斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，
那么梯子的长至少为多少米?
解：如图所示，依题意可知，当∠B=60°时，
答：梯子的长至少3.5米
C
A
B
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（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系 （勾股定理）A
Ba
b c
C
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
课堂小结
华师版九年级数学上册教学课件
1．数形结合思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示
意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出
直角三角形.
2．方程思想.
3．转化（化归）思想.
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24.4 解直角三角形
第2课时 仰角、俯角问题
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1.了解仰角、俯角的概念；（重点）
2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点）
学习目标
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问题1 在三角形中共有几个元素？
问题2 解直角三角形的应用问题的思路是怎样？
导入新课
观察与思考
华师版九年级数学上册教学课件
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角
为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平
距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
视线在水平线下方的是俯角，因此，
在图中，α=30°,β=60°
Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
Dα
β
仰角 水平线
俯角
讲授新课
仰角、俯角问题
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解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m
A
B
C
Dα
β
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建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观
察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为
45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
CD 40m
54° 45°
A
B
CD 40m
54° 45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：旗杆的高度为15.2m.
练一练
华师版九年级数学上册教学课件
1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上
一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的
水平距离BC=_________米.
2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得
D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高
为_____米.
100
当堂练习
图1 图2B C B C
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解：依题意可知，在Rt∆ADC中
所以树高为19.2+1.72≈20.9(米)
3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测
得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确
到0.1米）.
A
D
BE
C
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4.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是
45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等
于 （根号保留）．
5.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则
折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）．
图3 图4
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铅
直
线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
课堂小结
华师版九年级数学上册教学课件
3.认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中
的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平
行四边形）与三角形来解决.
2.梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行
四边形与直角三角形）来处理.
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24.4 解直角三角形
第3课时 坡度问题
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1.了解坡度的概念；（重点）
2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点）
学习目标
华师版九年级数学上册教学课件
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.解直角三角形
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2.解直角三角形的依据
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
tanA＝ a
bsinA＝ a
c
cosA＝ b
c
(必有一边)
Ａ Ｃ
Ｂ
a
b
c
别忽略我哦！
导入新课
回顾与思考
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水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的
坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α ，
坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？
A D
B C
i=1:2.523
6
讲授新课
坡度问题
华师版九年级数学上册教学课件
α
l
hi= h : l1.坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
2.坡度（或坡比）
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=——h
l
3.坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡
面
水平面
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1.斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度.
2.斜坡的坡角是45°，则坡比是 _______.
3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.
α
l
h
30
1：1
练一练
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例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）;
（2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）.
E F
A D
B C
i=1:2.5 23
6
α
分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C
作AD的垂线；
典例精析
华师版九年级数学上册教学课件
垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形
BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,
通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出；
斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解
Rt△ ABE和Rt△ CDF.
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、
F,由题意可知
E FA D
B C
i=1:2.5 23
6
α
BE=CF=23m ，EF=BC=6m.
在Rt△ABE中
华师版九年级数学上册教学课件
在Rt△DCF中，同理可得
=69+6+57.5=132.5m
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4，
由计算器可算得
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡
CD的坡角α约为22°.
华师版九年级数学上册教学课件
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面
的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）.
B
A D
F E C
6m
α β
i=1:
3i=1:1.5
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
在Rt△CDE中，∠CED=90°
探究归纳
完成第（2）题
华师版九年级数学上册教学课件
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而
山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
hh
αα
ll
华师版九年级数学上册教学课件
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“
化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，
划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，
可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出
这段山坡的高度h1=l1sina1.
h
α
l
华师版九年级数学上册教学课件
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法
分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”
，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，
以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在
数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面
的内容．
方法归纳
华师版九年级数学上册教学课件
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情
况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的
高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出
h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就
不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长
度l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问
题的策略
华师版九年级数学上册教学课件
1.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，
路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底
的宽（精确到0.1,米, ）.
45° 30°
4米
12米
A B
C
E F
D
当堂练习
华师版九年级数学上册教学课件
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
45° 30°
4米
12米
A B
C
E F
D
华师版九年级数学上册教学课件
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角
∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的
安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请
你计算AD的长(精确到0.1 m)．
华师版九年级数学上册教学课件
[解析] 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡
角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构
造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长．
华师版九年级数学上册教学课件
华师版九年级数学上册教学课件
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化
为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数去解直
角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
华师版九年级数学上册教学课件
复习和小结
第24章 解直角三角形
华师版九年级数学上册教学课件
锐角三角
函数
特殊角的三
角函数
解直角三
角形
简单实际
问题
c
a
b
A
BC
知识构架
华师版九年级数学上册教学课件
锐角三角
函数
（两边之比）
华师版九年级数学上册教学课件
特殊角的三
角函数
2
1
30°
1
1
45°
2
1 60°
30°
＋
60°=
90°
华师版九年级数学上册教学课件
解直角
三角形
∠A＋ ∠ B＝90°
a2+b2=c2
三角函数
关系式
计算器
由锐角求三角函数值
由三角函数值求锐角
华师版九年级数学上册教学课件
简单实
际问题 数学模型
解直角三角形
梯形
组合图形
三角形
构建
作高转
化为直
角三角
形
华师版九年级数学上册教学课件回顾思考
华师版九年级数学上册教学课件
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
华师版九年级数学上册教学课件[易错点] 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前
提是在直角三角形中．
2．30°，45°，60°角的三角函数值
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
3．解直角三角形的依据
(1)在 Rt△ABC中 ， ∠C＝ 90°， a， b， c分 别 是 ∠A，
∠B,∠C的对边．
1
华师版九年级数学上册教学课件
三边关系： ；
三角关系： ；
边角关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，
tanA＝ ，tanB＝ .
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是
边)，就可以求出其余的3个未知元素．
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
华师版九年级数学上册教学课件
解法：①一边一锐角，先由锐角关系求出另一锐角；知
斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一
直角边，再用正弦或勾股定理求斜边．②知两边：先用勾股
定理求另一边，再用边角关系求锐角．③斜三角形问题可通
过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
华师版九年级数学上册教学课件
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD
＝BC，cos∠ADC= ，求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在
Rt△ACD和ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由
此可列方程求出CD．
A
B CD
随堂练习
华师版九年级数学上册教学课件
解：（1）设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC= ,
又BC－CD＝BD
解得x=6
∴CD=6
A
B CD
华师版九年级数学上册教学课件
(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD
在Rt△ACD中
在Rt△ABC中
华师版九年级数学上册教学课件
[解析] 要求△ABC的周长，先通过解Rt△ADC求出CD和
AD的长，然后根据勾股定理求出AB的长．
华师版九年级数学上册教学课件
华师版九年级数学上册教学课件
3.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，
某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔
顶B的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
华师版九年级数学上册教学课件[解析] (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长；
(2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出
BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．
华师版九年级数学上册教学课件
A
B
Cb
ac
课堂小结
华师版九年级数学上册教学课件
解应用题时，先要将实际问题转化为数学问题，找出直角三
角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁，从而利用解直角
三角形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际情况
的答案．
解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余
弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的
图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、
公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起，
从而达到解题的目的．
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