天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 湘教版（2012） / 九年级上册 / 第2章 一元二次方程 / 湘教版九年级数学上册第二章 一元二次方程 精品教学课件.ppt
资料简介
2.1 一元二次方程
第2章 一元二次方程
湘教版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点）
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题
.(重点）
导入新课
复习引入
没有未知数
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
2x+3
5x+6=22
x+3y=8
x-5＜18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程
（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整
式方程叫做一元一次方程.
想一想：什么叫
一元二次方程呢
？
问题1:如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩
形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π
取3）.
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意有， 200cm
1
50cm
一元二次方程的概念一
讲授新课
问题2:如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有
量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车
拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的
年平均增长率为x
整理，得
根据题意有，
问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽
相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横
向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成
小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的
宽应为多少？
32
2
0
x
1.若设小路的宽是xm，那么
横向小路的面______m2，纵
向小路的面积是
m2,两者重叠的面积是
m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出
方程吗？
整理以上方程可得：
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0 ③
32
2
0
x
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570
32-2x
2
0
-
x
32
2
0
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
x2-36x＋35=0 ③
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做
一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
知识要点
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、
c 可以为零吗？
当 a = 0 时 bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时
，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时
，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时
，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
少了限制条件
a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不
是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0
(1) x2+ x=36
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,
所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程
是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方
法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字
母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点
不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别
与联系？
ax=b (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
例3：下列方程是一元二次方程吗？若是， 指
出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2)
（2）5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.
解：（1）去括号， 得 3x - 3x2 + 10 = 2x + 4.
移项， 合并同类项， 得 - 3x2 + x + 6 = 0，
这是一元二次方程， 其中二次项系数
是-3， 一次项系数是1， 常数项是6.
可以， 其中二次项系数是 3，
一次项系数是 1，
常数项是 6.
思考：上式可以写成3x2 - x -6 = 0 吗？那么各项
系数又是多少？常数项是多少呢？
去括号， 得
移项， 合并同类项， 得
这是一元一次方程， 不是一元二次方程.
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.
5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4.
5x + 11 = 0，
练一练：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分
别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
系数和项均包含前面的符号.注意
视频：一元二次方程一般式
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
√
×
√
×
×
√
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
2.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-21 3
13
-54 0
-53 -2
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k 时，是一元二次方程．
当k 时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
4.(1)有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各
切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一
个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那
么铁皮各角应切去多大的正方形？
100cm
50cm
x
3600cm2
解：设切去的正方形的边长为
xcm,则盒底的长为（100－
2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方
盒的底面积为3600cm2,得
化简，得
该方程中未知数
的个数和最高次
数各是多少？
(2)要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间
都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安
排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个
队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
化简，得： 该方程中未知数
的个数和最高次
数各是多少？
课堂小结
一 元 二
次 方 程
概 念
① 是整式方程；
② 含一个未知数；
③ 最高次数是2.
一般形
式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次
方程的必要条件；
列方程
2.2.1 配方法
第2章 一元二次方程
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
湘教版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
(重点）
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
导入新课
复习引入
平方根
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.如果 x2=64 ,则x= .±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这
桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全
部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一
个正方体的表面积为6x2dm2，可列出
方程 10×6x2=1500，
由此可得 x2=25 开平方得
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
x=±5，
一元二次方程的根一
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
作一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？一元
二次方程可能不止一
个根.
概念学习
例1：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意
观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式
的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根
是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0
9+4a=0 4a=-9
1.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值
为_______．
练一练
直接开平方法解一元二次方程二
问题1：能化为(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具备
什么特点？
左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负
常数的一元二次方程可化为(x+m)2=n(n≥0).
问题2：x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x
＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也
用直接开平方的方法求解呢？
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解:根据平方根的意义，得
x1=2, x2=-2.
解:根据平方根的意义，得
x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得
x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；
(3)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
的实数根 ， ；
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程
的根的方法叫直接开平方法.
归纳
例2 利用直接开平方法解下列方程:
(1) 4x2-25=0； (2) x2－900=0.
解：（1） 原方程可化为
根据平方根的意义，得
（2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
典例精析
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:
（x+3)2=5 ， ②
得
对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5
探究交流
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元
一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方
程了.
解题归纳
例3 解下列方程：
⑴ （2x＋1）2= 2 ；
解析：通过“降次”，将一个一元二次方程
转化为两个一元一次方程.
解：（1）根据平方根的意义，得
或
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1
小题一样地解.
例3 解下列方程：
（2）（x－1）2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
∴ x1= ， x2=
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.
解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边
都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都
除以-2即可.
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
解：
方程的两根为
解：
方程的两根为
例4 解下列方程：
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=
p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求
解吗？请举例说明.
探讨交流
当堂练习
(C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ; x2=
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A) x2=-2,解方程，得x=±
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
D
(1)方程x2=0.25的根是 .
(2)方程2x2=18的根是
.
(3)方程(2x-1)2=9的根是 .3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； (2)2x2＝50；
(3)(x＋1)2=4 .
x1=0.5,x2=-0.5
x1＝3,x2＝-3
x1＝2,x2＝－1
2.2.填空填空::
解：x1＝9, x2＝－9
；
解：x1＝5, x2＝－5；
解：x1＝1, x2＝－3.
4.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
二次项系数不
为零不容忽视
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述：m =2.
5.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一
元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有
错，指出具体位置并帮他改正.
① ②
③ ④
解：
解：不对，从开始错，应改为
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
x=2
拓广探索
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一
个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得
解方程
:
挑战自我
解：
方程的两根为
课堂小结
直
接
开
平
方
法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或
(x+n)2=p (p ≥0).
一 元
二 次
方 程
两个一
元一次
方程
降次
直接开平方法
2.2.1 配方法
第2章 一元二次方程
第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
湘教版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的
一元二次方程．（重点）
2.通过配方法体会“等价转化”的数学思想．
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
导入新课
复习引入
平方根
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.如果 x2=64 ,则x= .±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
填一填
你能填上适当的数使等式成立吗？
(1)x2＋6x＋____＝(x＋____)2 ；
(2)x2－6x＋____＝(x－____)2 ；
(3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋____－___＋5
＝(x＋____)2 －____．
9 3
9 3
9
3 4
9
导入新课
你能发现什么规
律吗？
配方的方法一
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2
；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
探究交流
讲授新课
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2-6x+ = ( x- )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
（4）x2- x+ = ( x- )2
你能总结这个规律吗？
22 2
32 3
42 4
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
想一想：
x2+px+( )2=(x+ )2
配方的方法
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程二
合作探究
怎样解方程: x2+6x+4=0 (1)
问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解： x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全
平方式：
常数项等于一次项系数
一半的平方.
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是
在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他
数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，
方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方程配方的方法：
要点归纳
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方
程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，
转化为一元一次方程求解．
典例精析
例1：用配方法解下列方程：
(1)x2+10x+9=0
解： 配方，得
x2+10x+52－52+9=0
因此 (x+5)2=16
由此得 x+5=4 或 x+5=－4
解得 x1=－1, x2=－9
解： 配方，得 x2－12x+62－62－13=0
因此 (x－6)2=49
由此得 x－6=7 或 x－6=－7
解得 x1=13 , x2=－1
(2)x2-12x-13=0
方法归纳
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项
配方
开方
求解
定解
把常数项移到方程的右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方
方程两边开平方
解一元一次方程
写出原方程的解
试一试：x2 + 12x -15=0 .
解：可以把常数项移到方程的右边,得
x2 + 12x = 15 ,
两边都加62（一次项系数6的一半的平方）,得
x2 + 12x + 62 = 15 + 62 ,
即 (x+6)2 = 51 .
两边开平方,得
x + 6 = ,
即 x + 6 = 或 x + 6 = .
所以 x1 = , x2= .
当堂练习
1.将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a)2=b的形式，
则b等于( )
A.-13 B.13 C.-21 D.21
D
解：
方程的两根为
2.解下列方程：
解：（1）移项，得 x2－8x=－1,
配方，得 x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得
即
3. 解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8
解：方程化简，得 x2 + 2x + 5 = 8.
移项，得 x2 + 2x = 3,
配方，得 x2 + 2x + 1 = 3 + 1 ,
即 （x + 1）2 = 4.
开平方, 得 x + 1 = ±2.
解得 x1 = 1 , x2= －3.
用配方法解二次
项系数为1的一
元二次方程
课堂小结
用直接开平方法求出它的解
移项，把方程的常数项移到
方程的右边，使方程的左边
只含二次项和一次项
2.2.1 配方法
第2章 一元二次方程
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的
一元二次方程
湘教版九年级数学上册教学课件
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
;.（重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程
.（难点）
学习目标
导入新课
复习引入
(1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2.
22..下列方程能用直接开平方法来解吗下列方程能用直接开平方法来解吗??
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) x2+6x+9 =5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成
(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程一
问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +8x－3 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4.
想一想怎么来解
3x2 +8x－3 = 0.
讲授新课
试一试：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0.
解：两边同除以3,得
x2 + x - 1=0.
配方,得
x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0,
（x + ）2 - =0.
移项,得
x + =± ,
即 x + = 或 x + = .
所以 x1= , x2 = -3 .
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得 2x2－3x=－1,
即
移项和二次项系数
化为1这两个步骤
能不能交换一下呢
?
例1 解下列方程：
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程
两边都加12
？
即
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1
；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 ,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两
个根为
x1=x2=-n.
③当p0
，
当b2-4ac ≥0时，
∵a ≠0,4a2>0
，
当b2-4ac ＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程
时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程
的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公
式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个
实数根.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
注意
典例精析
例1：（1）解方程：x2-x-2=0
解：这里 a=1, b= -1, c= -2.
∵ b 2 - 4a c =(-1)2 - 4×1×(-2)=9﹥0,
即：x1=2, x2= -1.
公式法解方程二
（2）解方程：x2-2x=1
解：移项，得 x2-2x-1=0
这里 a=1, b= -2, c= -1.
∵ b 2 - 4a c =(-1)2 - 4×1×(-1)=8﹥0,
因此，原方程的根为：
例 2 ：解方程：9x2+12x+4=0
解：这里a=9,b=12,c=4
因而 b2-4ac=122-4×9×4=0
所以
因此，原方程的根为
1. 用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解：∵a=5,b=-4,c=-12，
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
练一练
2 解方程：
化简为一般式：解：
即 ：
这里的a、b、c的
值是什么？
例3 解方程：4x2-3x+2=0
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无
实数根.
解：
要点归纳
公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac0,
即 x1 = -9, x2 = 2 .
当堂练习
2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0,
这里 a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96
= - 47 < 0, ∴原方程没有实数根.
3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0
解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 .
∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ,
∴
即 x1= x2=
课堂小结
公式法
求 根
公 式
步 骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac 务必将方程化
为一般形式
2.4 用因式分解法求解
一元二次方程
第二章 一元二次方程
湘教版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方
程.（难点）
导入新课
情境引入
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)
(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-
1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？
讲授新课
因式分解法解一元二次方程一
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以
10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高
度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体
经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
分析：设物体经过 x s落回地面，
这时它离地面的高度为0，即
10x-4.9x2 =0 ①
解： 解：
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
∴ b2－4ac
= (－10)2－4×4.9×0
=100.
公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0.
10x-4.9x2=0.
因式分解
如果a · b = 0，
那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x-4.9x2 =0 ①
x(10-4.9x) =0 ②
x =0 10-4.9x=0
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化
为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (1) x1=0,x2=2；
(2) (y+2)(y-3)=0； (2) y1=-2,y2=3 ；
(3) (3x+6)(2x-4)=0； (3) x1=-2,x2=2；
(4) x2=x. (4) x1=0,x2=1.
例1 用因式分解法解下列方程：
因式分解，得
于是得
x=0或x－8＝0,
x1=0，x2=8.
(2)移项，得
因式分解，得
( 5x－1)( 2x－3
)=0.
于是得
5x－1=0或2x－3=0,
x(x－8)=0.
典例精析
解：(1) 原方程可化为
即
于是得 65－2x=0或5－2x＝0,
解：原方程可化为
解得
例2 解下列方程：
解：(1)因式分解，得
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
典例精析
1.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2=
.
x2+x－2=0
－2
1
当堂练习
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请
改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为：
(x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ②
由x+2=6, 得x=4; ③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
解: 原方程化为：
x2 －3x －28= 0，
(x－7)(x+4)=0，
x1=7，x2=－4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0
，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0
，
3.解方程：
4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地
面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r
，根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
课堂小结
因式分解法
概 念
步 骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.原 理
将方程左边
因式分解，
右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).
2.2.3 因式分解法一元二次方程
第2章 一元二次方程
第2课时 选择合适的方法解一元二次方程
湘教版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.理解解一元二次方程的基本思路；
2.能根据题目特点选用最恰当的方法求解.（重点）
导入新课
问题： 我们学习过的解一元二次方程的方法有哪些？
①因式分解法
②直接开平方法
③公式法
④配方法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
（x+a )2=C ( C≥0 ）
(化方程为一般式）
（二次项系数为1，而一次项系数为偶数）
灵活选用方法解方程
例1 用适当的方法解方程：
(1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式，
所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，
另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x + 1 = ±1.
解得, x 1= 0 , x2=
讲授新课
（3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数为1，可用配
方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62
,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
解得 x1= ,
x2=
分析：二次项的系数不为1，且不能直
接开平方，也不能直接因式分解，所
以适合公式法.
解：化为一般形式
3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
拓展提升
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时
（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），
先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，
若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，
用配方法也较简单.
要点归纳
解法选择基本思路
例2 用因式分解法解方程：x2-10x+24=0
解：配方，得 x2-10x+52-52+24=0
把方程左边因式分解，得
(x-5+1)(x-5-1)=0
即(x-4)(x-6)＝0,
解得x1=4，x2=6.
因而 (x-5)2-12=0.
例3 选择合适的方法解下列方程：
解：(1)因式分解，得
于是得
x=0或x+3＝0,
x1=0，x2=－3.
(2) 这里 a=5, b=－4, c=－1
因而 Δ=b2 - 4ac = 36 > 0,
于是得
x(x+3)=0.
解：原方程可化为
于是得 x+1＝2或x+1＝－2,
x1=1，x2=－3.
即 (x+1)2=4.
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ；
③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；
⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
当堂练习
1.填空
⑥
①
② ③
④
⑤
⑦ ⑧
⑨
2.方程(x-3)(x+1)=x-3的解是 ( )
A.x=0 B.x=-3
C.x=3或x=-1 D.x=3或x=0
解析：方程两边有公因式(x-3)，可以利用因式分解
法解方程，原方程变形，得(x-3)(x+1)-(x-3)=0，所以
(x-3)(x+1-1)=0，即x-3=0或x=0，所以原方程的解为x
=3，x =0.故答案为D.
D
3.用适当的方法解下列方程．
(1)x2 －3x＋1＝0； (2)(x－1)2 ＝3
； 解：(1)因为a＝1，b＝－3，c＝1，
所以b2－4ac＝(－3)2 －4×1×1＝5，x＝ ，
所以原方程的解为x1＝ ，x2＝ .
(2)两边直接开平方，得x－1＝ ，
所以原方程的解为x1＝1＋ ，x2＝1－ .
解：(3)左边分解因式，
得x(x－3)＝0，x＝0或x－3＝0，
所以原方程的解为x1＝0，x2＝3.
(4)方程两边都加1，得x2－2x＋1＝4＋1，
所以(x－1)2＝5，x－1＝ ，
所以原方程的解为x1＝1＋ ，x2＝1－ .
3.用适当的方法解下列方程．
(3)x2 －3x＝0； (4)x2 －2x＝4.
一元二次方程
的解法
课堂小结
方法
配方法
因式分解法
基本思路：降次
直接开平方法
公式法
2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
湘教版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；
3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值
范围.（重点、难点）
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们
是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站
起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判
断的吗？
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 .
配方，得 x2 + x +( )2 -( )2 - = 0,
移项，得 （x + ）2 =
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
讲授新课
一元二次方程根的判别式一
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能
直接开？
（x + ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .
当 b2– 4ac＞0 时, x1= , x2=
当 b2– 4ac=0 时, x1=x2=
当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根),
所以原方程没有实数根.
两个不相等实数根两个不相等实数根
两个相等实数根两个相等实数根
没有实数根没有实数根
两个实数根两个实数根
判别式的情况 根的情况根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根
的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
> 0
= 0
< 0 ≥ 0 要点归纳
按要求完成下列表格：
练一练
的值 0 4
根的情况 有两个相等的实
数根
没有实数根 有两个不相等的
实数根
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定a,b,c的值.
要点归纳
根的判别式使用方法
2.计算 的值，确定 的符号.
根的判别式的应用二
应用1：用根的判别式判断一元二次方程根的情况
例1:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-
1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选
B.
B
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，
要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
•b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
•b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
•b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围
例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不
相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k-1且k≠0，故选B.
B
应用3：不解方程判断一元二次方程的根的情况
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0,
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0,
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．
当堂练习
1.关于x的一元二次方程 有两个
实根，则m的取值范围是 .
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实
根或两个相等实根两种情况.
解：
∴
2.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0.
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= .
∴b2-4ac=(-1)2-4×1× =0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
讲授新课
探索一元二次方程的根与系数的关系一
算一算 解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
-4 1
2 3
-1
x1+x2=-3 x1 · x2=-4
x1+x2=5 x1 · x2=6
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,
且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）
的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你
能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
猜一猜
（2）通过上表猜想，如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你
可以发现什么结论？
证一证：
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0.
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系的应用二
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、
两根之积.
（1）2x2 - 3x +1= 0;
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = 1.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 ×1= 1 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2,
那么 x1 + x2 = , x1 x2 = .
（2）x2 - 3x + 2 =10.
解：这里 a = 1 , b = -3 , c = -8.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 1 × (-8) = 41 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = 3 , x1 x2 = -8 .
（3）7x2 - 5=x +8.
解：这里 a = 7 , b = -1 , c = -13.
Δ= b2 - 4ac = (- 1)2 – 4 × 7 ×(-13)= 365 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = .
例2 已知方程x2+3x+q=0的一个根是-3，求它的另一
个根及q的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=-3 .
所以：x1 + x2=-3，
即：x2=0
由于x1·x2=q=（-3）·0=0
得：q=0.
答：方程的另一个根是 0，q=0.
变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它
的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、
倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= , (2)x1·x2= ,
(3) ,
(4) .
4 1
14
12
练一练
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根
，且x1
2 +x2
2 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2
.
∴ x1
2 + x2
2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x1
2 + x2
2 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
总结常见的求值:
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的
代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
归纳
当堂练习
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个
根是___，m =____.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2
和 1 ，则：p = , q= .1 -2
-3
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一
个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
∴x1 =
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且
（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以
则：
5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间
的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
（2）
6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
拓展提升
由根与系数的关系，得
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.解：(1)方程有实数根
∴m的取值范围为m＞0
(2)∵方程有实数根x1,x2
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
解得m=8.
经检验m=8是原
方程的解．
课堂小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是
x1、 x2，那么
应 用
2.5 一元二次方程的应用
第2章 一元二次方程
第1课时 增长率问题与经济问题
湘教版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.会用一元二次方程解决有关的实际问题；
（重点、难点）
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力
和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学
的意识．
导入新课
问题：某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分
有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的
合理使用率.若今年的使用率为40%，计划后年的使用
率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假
定该省每年产生的秸秆总量不变）.
今年的使用率×（1+年平均增长率）²=后年的使用率
你能找出问题中涉及的等
量关系吗？
40%（1+x）²=90%
整理，得 （1+x）²=2.25
解得 x1=0.5=50%， x2=-2.5（不合题意，舍去）
答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%.
若设这两年秸秆使用率的年平均增长率
为x，请你根据等量关系，列出方程：
接下来请你解出此一元二次方程
x2=-2.5符合题意吗？
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产
技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，
则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生
产1吨甲种药品的成本是 元.
探究归纳
7%
4324.5
下降率=下降前的量-下降后的量
下降前的量
讲授新课
增长率问题一
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产
技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的
成本是 元，如果保持这个下降率，则现在
生产1吨甲种药品的成本是 元.
下降率x第一次降
低前的量
5000(1-x)
第一次降低后的量
5000
下降率x 第二次降
低后的量
第二次降
低前的量
5000(1-x)(1-x)5000(1-x)2
5000(1-x)
5000(1-x)2
例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生
产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000
元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，
列方程，得
5 000 ( 1－x )2 = 3000
，解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下
降率约为22.5％.
注意 下降率不可为负，且不大于1.
练一练：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生
产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，
试求乙种药品成本的年平均下降率？
解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，
列方程，得
6 000 ( 1－y )2 = 3 600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的
年平均下降率约为22.5％.
解后反思
答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降
额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年
平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙
种药品成本的年平均下降额较大．
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率
（百分数）就大呢？
答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的
年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很
多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的
大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率
大呢?
问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有
关数量关系吗？
类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍
存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率
为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的
量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中
增长取“+”,降低取“－”).
变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知
两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到
0.1% ）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知
两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到
0.1% ）
解，设原价为a元，每次升价的百分率为x ，
根据题意，得
解这个方程，得
由于升价的百分率不可能是负数，
所以 (不合题意，舍去)
答：每次升价的百分率为9.5%.
例2 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来
实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元
降为81元.求平均每次降价的百分率.
解析：原价×(1-平均每次降价的百分率)²=现行售价
解：设平均每次降价的百分率为x，则根据等
量关系得 100(1-x)²=81
解得 x1=0.1=10%, x2=1.9
答：平均每次降价的百分率为10%.
(不合题意，舍去
)
例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200
万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平
均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50% .
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
整理方程，得 4x2+12x-7=0，
解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
情境引入
每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场
经理，该如何定制营销方案呢？
例4 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若
每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，但
物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120％.若
该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成
本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
解：（售价-进价）×销售量=利润.
根据等量关系得（x-21)(350-10x)=400
整理，得 x²-56x+775=0
解得 x1=25, x2=31.
利用一元二次方程解决营销问题二
所以x=31不合题意，应当舍去.故x=25.
答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价
是25元.
从而卖出350-10x=350-10×25=100（件）
因为 21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，
方法归纳
建立一元
二次方程
模型
实际问题
分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二
次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
例5：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售
时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就
要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，
这时应进货为多少个？
分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润
[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，
则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为
(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000.
解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销
售量为(500－10x)个，则
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000，
整理得 x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30都符合题意.
当x=10时,50+x =60，500－10 x=400；
当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为
60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量
应为200个.
某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的
盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平
均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平
均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每
盆应该植多少株?
思考:这个问题设什么为x?有几种设法?
如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量
?
如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？
针对练习
整理，得 x2 - 3x + 2 = 0.
解这个方程,得 x1=1, x2=2.
经检验，x1=1 , x2 = 2 都符合题意.
答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(x+3)
株,平均单株盈利为(3 - 0.5x)元.根据题意,得.
(x + 3)(3 - 0.5x) = 10.
总结归纳
利润问题常见关系式
基本关系：(1)利润＝售价－________；
(3)总利润＝____________×销量
进价
单个利润
当堂练习
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为
720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的
投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资
上的平均增长率是x,则可列方程为
.
B
2（1+x)+2(1+x)2=8
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，
今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量
的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
系数化为1得，
直接开平方得，
则
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10% .
7200（1+x)2=8712
（1+x)2=1.21
1+x=1.1, 1+x=-1.1
x1=0.1, x2=-1.1,
4.新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研
表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销
价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种
冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价
应为多少元?
分析：本题的主要等量关系是：
每台的销售利润×平均每天销售的数量= 5000元.
解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得
整理,得：x2 - 300x + 22500 = 0.
解方程,得：
x1 = x2 = 150.
∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750.
答：每台冰箱的定价应为2750元.
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10,x2=20
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.
5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每
件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件
衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均
每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
能力提升:菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的
价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成
该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经
过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得 x1=20% ，x2=1.8 （舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%;
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李
伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九
折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问
小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
一
元
二
次
方
程
的
应
用
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的
量，x为增长率，2为增长次
数，b为增长后的量.
降低率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的
量，x为降低率，2为降低次
数，b为降低后的量.注意1
与x位置不可调换.
经济利润问题
2.5 一元二次方程的应用
第2章 一元二次方程
第2课时 图形面积问题
湘教版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
（重点）
导入新课
问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地
上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外
一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的
面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道
宽为xm，则由题意列的方程为
_____________________.
CB
DA
(30-2x)(20-x)=6×78
问题引入
讲授新课
几何图形与一元二次方程一
引例：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正
中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要
使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、
下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何
设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
2
7
c
m
21cm
合作探究
分析:这本书的长宽之比 ： 正中
央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬
与左右边衬之比 ： .
9 7
9 7 2
7
c
m
21cm
解：设中央长方形的长和宽分别为9a
和7a由此得到上下边衬宽度之比为：
9 7
2
7
c
m
21cm
解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽
为7xcm依题意得
解方程得
故上下边衬的宽度为
:故左右边衬的宽度为:
方程的哪个根
合乎实际意义?
为什么?
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简
单地解决上面的问题？
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，
7xcm.依题意得
2
7
c
m
21cm
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
试一试：如图，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形
铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个
无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2. 求截去
的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体
盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm.
根据题意，有 (40-2x)(28-2x)=364．
解得 x1=27，x2=7．
整理得， x2-34x+189=0.
如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和
右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩
形铁皮的长40cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．
即所截去的小正方形的边长为7cm,
20
32
x
x
解：设道路的宽为x米
例1：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上
修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草
坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？
典例精析
还有其他
解法吗？
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米
20-x
32-x
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
方法二：
例2：在长为32m, 宽为20m的矩形地面
上修筑同样宽的道路,余下的部分种上
草坪,要使草坪的面积为540㎡,求
这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米
(32-x)(20-x)=540
可列方程为
20
32
x
xx
20-x
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样
宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为
540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米
(32-2x)(20-x)=540
可列方程为
32-2x
20
32
x
xx
x
20
32
2x
2x
32-2x
20-2x
在宽为20m, 长为32m
的矩形地面上修筑同样宽的道
路,余下的部分种上草坪,要使
草坪的面积为540m2,求这种种
方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米
(32-2x)(20-2x)=540
可列方程为
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下
的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，
且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽
为多少？
小路所占面积是矩形
面积的四分之一
剩余面积是矩形面
积的四分之三
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
(30-4x)(20-6x)= —×20×30
20㎝
30㎝
3x
2x
30-4x
20-6x
4
3
3x
2x
6x
4x
30-4x
20-6x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不
会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使
列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际
施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
视频：平移求面积动态展示
解：设AB长是x m.
(100-4x)x=400
x2-25x+100=0
x1=5，x2=20
x=20,100-4x=2025 x=5(舍去)
答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.
例3：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊
圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的
三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和
BC的长个是多少米？
D
CB
A
25米
•变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边
利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m
的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积
为80平方米？
住房墙
1m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25-2x+1)=80
化简，得 x2-13x+40=0
解得 x1=5 , x2=8
当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）
当x=8时，26-2x=10
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