资料简介
1.1 反比例函数
第1章 反比例函数
湘教版九年级数学上册教学课件
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知
条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)
学习目标
？？
导入新课
情境引入
新学期伊始，小明想买一些笔记本为以
后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小
明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？
笔记本单价
x/元
1.5 2 2.5 3 5 7.5 …
购买的笔记
本数量y/本
通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？
你还能举出这样的例子吗？
20 15 12 10 6 4
？
反比例函数的概念一
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，
请写出它们的解析式.
合作探究
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速
度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t
(单位：h) 的变化而变化；
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草
坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的
变化而变化；
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占
有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的
变化而变化.
观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共
同特点？
问题：
都具有 的形式，其中 是常数．分式 分子
(k为常数，k ≠ 0) 的函数，
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
一般地，形如
反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范
围是什么？
思考：
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x
的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例
函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式
中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的
值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式
表示，还有没有其他表达方式？
想一想：
反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0)
下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
练一练
是，
解：因为 是反比例函数
所以 4－k2=0，
k－2≠0.
解得 k =－2.
所以该反比例函数的解析式为
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根
据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可.
例1 若函数 是反比例函数，求 k
的值，并写出该反比例函数的解析式.
1. 已知函数 是反比例函数，则
k 必须满足 .
2. 当m= 时， 是反比例函数.
k≠2 且 k≠－1
±1
练一练
确定反比例函数的解析式二
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .
把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值.
解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有
解得 k =12.
因此
(2) 当 x=4 时，求 y 的值.
解：把 x=4 代入 ，得
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一
般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，
得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系
数； ④写出反比例函数解析式.
练一练
已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=－4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y=6 时，求 x 的值.
解：(1) 设 . 因为当 x=3时，y=－4，所以有
解得 k =－12.
因此
(2) 把 y=6 代入 ，得
解得 x =－2.
例3：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa
是它的受力面积S m2的反比例函数，如图.
（1）求p与S之间的函数表达式；
（2）当S=0.5时，求p的值.
解：（1）设 （k≠0），
因为函数图象过点（0.1,1000）,
代入上式，得
解得k=100.
所以p与S的函数表达式是 ；
（2）当S=0.5时，
p
sO 0.1
1000
建立简单的反比例函数模型三
例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机
在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野
变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f
(度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数
解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
当 v=100 时，f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，所以
解得 k =4000.
因此
如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它
的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y
与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A
B
C
D
练一练
解:因为菱形的面积等于两条对角线长
乘积的一半，
所以
所以变量 y与 x 之间的关系式为 ，
它是反比例函数.
当堂练习
1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
x 和 y 成反比例函数关系的有 (
) ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半
径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；
③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的
半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的
速度为 x，放满一桶水的时间 y
A. 1个 B. 2个 C. 3个
D. 4个
B
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( )A
3. 填空
(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围
是 .
(2) 若 是反比例函数，则m的取值范
围是 .
(3) 若 是反比例函数，则m的取值范围
是 .
m ≠ 1
m ≠ 0 且 m ≠ －2
m = －1
4. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y =
4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ，
所以有 ，解得 k =16，因此 .
(2) 当 x = 7 时，
5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有
时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速
度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )．
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；
解： (t>0)．
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行
车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均
速度比星期二快多少？
125－40＝85 ( m/min )．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
解：当 t＝25 时， ；
当 t＝8 时， .
能力提升：
6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1)
成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1
，
求：(1) y 关于 x 的关系式；
解：设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)，
则 .
∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，
－3=－k1+k2 ，
∴k1=1，k2=－2.∴
∴
(2) 当 x = 时，y 的值.
解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y =
课堂小结
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数：定义/三种表达方式
反
比
例
函
数
1.2 反比例函数的图象与性质
第1章 反比例函数
第1课时 反比例函数 的图象与性质
湘教版九年级数学上册精品教学课件
学习目标
1.了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制
简单的反比例函数图象．
2.了解并学会应用反比例函数 图象的基
本性质．(重点、难点)
导入新课
我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函
数图象时的方法吗？
写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
复习引入
反比例函数的图象和性质一
例1 画反比例函数 与 的图象.
合作探究
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表
→描点→连线. 需要注意的是在反比例函
数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
－1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1
－2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2
O－2
描点：以表中各组对
应值作为点的坐标，
在直角坐标系内描绘
出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6－3－4 －1－5－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
连线：用光滑的曲线
顺次连接各点，即可
得 的图象．
方法归纳
绘制反比例函数的图象与绘制一次函数
的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比
例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线
条自然，图象是延伸的，注意不要画成有明
确端点．曲线的发展趋势只能靠近
坐标轴,但不能和坐标轴相交．
观察这两个函数图象，回答问题：思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
你能由它们的解析式说明理由吗？
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)
，
你能得出同样的结论吗？
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C
y
A. x
y
o B. x
o
D. x
y
o
C. x
y
o
练一练
2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函
数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2
的大小关系为 ( )
A. y1 > y2 B. y1 = y2
C. y1 < y2 D. 无法确定 C 提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因 为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限 部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系.
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个
函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D
的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图
象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
O x
y
例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据
图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以m－5＞0，
解得m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时，
y1＜y2.
2．已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.
当堂练习
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
3.在反比例函数 (k>0)的图象上有两点A( x1 , y1 )，
B( x2 , y2 ) 且x1>x2>0，则y1-y2的值为 ( )
A．正数 B．负数
C．非正数 D．非负数
B
4. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5=－1
，m＞0，
解得 m=2.
5.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析
式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C
的坐标满足该解析式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上．
(3) 当 －3< x 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
性质：在每个象限内，y随x的增大
而减小
图象：分别位于第一、三象限
课堂小结
图象的画法（描点法）：列表、
描点、连线
1.2 反比例函数的图象与性质
第1章 反比例函数
第2课时 反比例函数 的图象与性质
湘教版九年级数学上册精品教学课件
学习目标
1.了解反比例函数 的相关性质.
(重点、难点）
2.理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系．
（重点、难点）
3.利用双曲线的性质解决简单的数学问题．
观察与思考
问题 下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这
些点如果在平面直角坐标系中是怎样一种情况呢？可
以试着动手画一画．
x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6
y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1
反比例函数 图象与性质一
例1：画反比例函数 的图象.
解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为
列表 描点 连线
需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0．
解：列表如下
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 …
描点：以表中各组对应
值作为点的坐标，在直
角坐标系内描绘出相应
的点．
连线：用光滑的曲线
顺次连接各点，即可
得 的图象．
1 2 3 4 5 6-1-3 -2-4-5-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-6
-5
5
6
y
x
y = x4
O
图象的画法
与 图象的画法
类似，但在解题的时候要注
意图象所在的象限．
方法归纳
观察与思考
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图
象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，
从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质
的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0)的图象和性质吗？
y
xO
y
xO
y
xO
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
归纳：
归纳：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线， 它具有以下性质： k 的正负决定反比例函 数所在的象限和增减性
点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2
(填“>”“0还是k0
（2）如果点A（-3，y1），B（-2，y2）是该
函数上的两点，试比较y1、y2的大小.
x
y
o
因为点A（-3，y1），B（-2，y2）
是该图像上的两点，且-3SC B.
SA0
k2 >0
b0
合作探究
①
x
y
O x
y
O
②
k2 2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1＋2＝3 (小时)． O y/毫克 x/小时2 4
如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，
设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟
．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次
函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热
一段时间使材料温度达到
28℃时停止加热，停止加热
后，材料温度逐渐下降，这
时温度y与时间 x 成反比例
函数关系，已知第 12 分钟
时，材料温度是14℃．
针对训练
O
y(℃)
x(min)12
4
14
28
(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函
数关系式（写出x的取值范围）；
O
y(℃)
x(min)12
4
14
28
答案：
y =
4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)，
(x＞6).
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的
这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么
对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?
解：当y =12时，y =4x+4，解得 x=2．
由 ，解得x =14.
所以对该材料进行特殊
处理所用的时间为
14－2=12 (分钟)．
O
y(℃)
x(min)12
4
14
28
课堂小结
反
比
例
函
数
定义
图象
性质
x，y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用
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