资料简介
第2章 四边形
2.1 多边形
1.通过具体情境了解多边形的概念，掌握四边形和多边
形的内角和，会利用多边形的内角和进行计算.
2.通过多边形内角和公式的推导过程，培养学生的发散
思维能力，逐步提高推理的能力.
3.了解多边形外角和的概念、掌握多边形外角和公式.
4.了解正多边形的概念;了解四边形的不稳定性及生活中
的应用.
广场中心的边缘
是一个五边形，
小明沿五边形的
边缘跑一周，一
共会转过多少度
呢？本节课我们
将共同来探究多
边形的内角和和
外角和问题.
看一看
四边形 五边形
六边形 八边形
……
三角形
顶点
内角
边
对角线
(连接不相邻两个顶点的线段)
这
里
所
说
的
多
边
形
都
指
凸
多
边
形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
图 2图1
我们现在研究的是如图1所示的多边形，是凸多边形；
如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范
围内.今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形.
下面让我们共同来探求五边形的五个内角的和.
A
B
C D
E
我们知道，三角形的内角和等于______度,四边形的内
角和等于 度，那五边形的内角和呢？
180
360
你能动手做一做吗?
你能想出几种不同的解法？
A
B
C D
E
探究1
180°×3 = 540°
多边形 边数 图形 分成三角
形的个数 内角和 计算规律
三角形
四边形
五边形
六边形
七边形
n边形
…
…
…
…
…
…
3
4
5
6
7
n
1
n-2
2
3
4
5
180°
360°
540°
720°
900°
(n－2)
·180° (n－2) ·180°
(7－2) ·180°
(6－2) ·180°
(5－2) ·180°
(4－2) ·180°
(3－2) ·180°
E
A
B
C
D
O
180°× 5 – 360°= 540°
探究2
A
B
C
D
E
F
180°× 4 – 180° = 540°
探究3
A
B
C D
E
180°+ 360° = 540°
探究4
2.如图：(1)作多边形过顶点A的所有对角线，并分别用字母表达出来。
(2)求这个多边形的内角和。
A
B
C
D
E
F
1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，
这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
答案：七边形 900°
解:(1)过顶点A的对角线共有三 条，
分别是AC、AD和AE.
(2)这个多边形的内角和是：
(6-2) · 180 = 720(度).
【跟踪训练】
解：由多边形的内角和公式可得:
（n-2）·180 = 1440
(n - 2) = 8
n = 10
所以这是十边形。
十3.如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是___边形。
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫作正多边形.
正三角形 正方形 正五边形
正六边形 正八边形
观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点？
（1）一个多边形的边都相等，它的内角
一定都相等吗？
（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
（3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正
六边形、正八边形的内角分别是多少度？正n边形呢？
菱形
（分别是60°，90°，108°，120°，135°， ）
矩形
不一定，如菱形.
不一定，如矩形.
2.若正n边形的一个内角是144度，则n=_______.
解：由多边形的内角和公式可得：
(n -2) · 180 = 144n
180n – 360 = 144n
180n -144n=360
36n = 360
n = 10
10
1.如果十二边形的每一个内角都相等，那么每个内角是
______度。150
【跟踪训练】
3.在四边形ABCD中，∠A=120度，∠B︰∠C︰∠D=3︰4︰5,求
∠B，∠C，∠D的度数.
解：设∠B，∠C，∠D的度数分别是3x, 4x, 5x度，由四
边形的内角和等于360度可得：
120 + 3x + 4x + 5x = 360
12x = 240
x = 20
所以 3x = 60
4x = 80
5x = 100
答：∠B，∠C，∠D的度数分别为60度，80度,100度.
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出1+2+3+4+5=?吗？你是
怎样得到的？
4.问题解决
（1）小明每从一条街
道转到下一条街道时，
身体转过的角是哪个角
？
A
B
C
D
E
A'
C'
D'
E'
B'
O2 3
4
5
1
1
2
3 4
5
结论：(1)分别是1，2，3，4，5
(2)角度之和为360°
(3)1，2，3，4，5的和等于360°
如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作
这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这
个多边形的外角和.
任意多边形的外角和都等于360°
（1）还有什么方法可以推导出多边形的外角和公式？
（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角
和的结论？
例 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它
是几边形？
解：设这个多边形是n边形，由题意得
（n-2)·180=360×3
解得 n=8
答:这个多边形是八边形.
【例题】
【解析】
答案：
【跟踪训练】
【解析】
【解析】
2.（自贡·中考）一个多边形截取一个角后，形成的另
一个多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是
( )
（A）10 （B）11
（C）12 （D）以上都有可能
【解析】选D.设截去一个角后的多边形的边数为n，则有
(n-2)×180°=1 620°解得n=11，
由于多边形被截取一个角后有三种情况，一是边数减少一条，
二是边数不变，三是边数增加一条，所以多边形的边数可能
是10，11，12.
3.如图，能够利用下面图形说明n边形的内角和为
(n-2)·180°的有( )
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
【解析】选D.探索多边形内角和的思路是把多边形划分
成三角形，利用三角形的内角和为180°求得，由图形作
法可知：
图①为n·180°-360°＝（n-2）×180°，
图②为(n-2)×180°,
图③为（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°,
图④为（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°.
4.（湛江·中考）如图，小林从P点向西直走12米后，向
左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共
走了108米回到点P，则α＝( )
（A）30° （B）40°
（C）80° （D）不存在
【解析】选B.观察图形分析已知条件，不难看出小林实
际上围绕正多边形走了一周，并且该正多边形的边长是
12米，因为小林一共走了108米，即该正多边形的周长
是108米，所以其边数为9，因其外角和是定值360°，
故α＝ ＝40°，所以本题选B.
【解析】
答案：
【解析】
答案：
7.（宿迁·中考）如图，平面上两个正方形与一个正五
边形都有一条公共边，则∠α＝_________.
【解析】∠α＝360°-180°-108°＝72°
答案:72°.
8.（晋江·中考）将一块正五边形纸片（图①）做成一个
底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底
面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如
图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小是________.
【解析】要做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖
纸盒，则AB,AD都与里面的正五边形的边垂直，所以
∠BAD与正五边形的内角互补，∠BAD＝180°-108°＝
72°
答案:72°
9.如图，∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F的度数之和为________.
【解析】如图，连结AD,
由∠3＝∠4，得∠1+∠2＝∠E+∠F,
所以∠BAF+∠B+∠C+∠EDC+∠E+∠F
=∠5+∠B+∠C+∠6+∠1+∠2
=四边形ABCD的内角和＝360°
答案:360°
10.多边形的每个内角都等于它的相邻外角的6倍，试求
该多边形的边数.
【解析】设多边形的边数为n,
则(n-2)·180°=6×360°，
解得n=14.
本节课我们研究了多边形的定义及其内角和、外角和公
式.
1.多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)·
180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.
2.多边形的外角及其外角和公式:多边形的外角和等于
360°.
求解有关多边形的角的计算题,有时直接应用外角和公
式会比较简便.
人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种
学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳
定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机.
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