资料简介
第5章 对函数的再探索
5.4 二次函数的图像和性质
5.4 二次函数的图象和性质
第1课时
1.知道二次函数的图象是抛物线；
2.会画y=ax2的图象，并能结合图象理解y=ax2的性质.
一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的
图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？
思考
用描点法画二次函数y=x2的图象
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …9 4 1 10 4 9
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算
相应的y值，完成下表：
x
y
O-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
10
8
6
4
2
-2
描点
连线 y=x2
二次函数y=x2的图象形如物
体抛射时所经过的路线,我们把
它叫做抛物线.
这条抛物线关
于y轴对称,y轴
就是它的对称
轴.
对称轴与抛线的交点
叫做抛物线的顶点,
顶点是抛物线的最低
点或最高点.
y
0
x ...
...
...
...
0-4 -3 -2 -1 2 31 4
0 0.5 2 4.5 8 0.524.58
在同一直角坐标系中，画出y= 的图象.
y
o
再画函数 y=2x2 的图象与y=x2的图
象相比，有什么共同点和不同点？
y=2x2 y=x2
(1)图象是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么? x
o
图象是轴对称图形，对称轴都是y轴.
图象开口向上， a越大开口越小.
图象的顶点都是原点，为抛物线的最低点.
(2)图象的开口方向是向上还是向下？图象的开口
大小有什么规律？
(3)图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还
是最低点？
-3 -2 -1 1 2 3
0.5x2=y
当a>0时，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开
口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
(1)二次函数 y = - x2 的图象是什么形状？
你能根据表格中的数据作出
猜想吗？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
在“做”中“学”
x
y
O
-4 -3 -2 1 2 3 4
-4
-2
-1
y=-x2
-1
-3
1描点,连线
二次函数y= -x2 的图象是抛物线.
二次函数y= -x2 的图象与y= x2 的图象关于x轴对称，顶点都为原点，但原点
是二次函数y= -x2的最高点，却是 y= x2 的最低点.
请同学们在同一坐标系内画出y= - 0.5x2,y = -2x2的图象，并考虑这些抛物
线有什么共同点和不同点.主要从以下几个方面考虑：
1.开口方向
2.开口大小
3.对称轴
4.顶点坐标
5.有最高点还是有最低点
(1)抛物线y=ax2与y= - ax2(a＞0)关于__轴对称；
(2)当a＞0时，开口_____，顶点是抛物线的最___点；
当a＜0时，开口_____，顶点是抛物线的最___点；
(3)︱a︱越大，抛物线的开口_____.
【点拨】a决定了抛物线y=ax2的开口大小和方向.
x
向上 低
向下 高
越小
【规律总结】
二次函数y=ax2的“两关系四对等”
1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系式是
:h=4.9t2，h是t的 函数，它的图象是 抛物线 顶
点坐标是 .
2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
（0，0）二次
y = -2x2
不在抛物线上
3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为
x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
解析：选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作DF⊥AC于F.可证得
△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形，设BC为m，则DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，
∴CF=3m，
F
E
4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝
ax2，则下面图中，可以成立的是( )C
5．填空：已知二次函数
(1)其中开口向上的有_______(填题号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是____(填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后
逐渐变小的有__________(填题号)．
②③⑥
①④⑤
⑤
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.二次函数y=ax2的图象有什么性质？
3.抛物线y=ax2 与y=-ax2有怎样的关系？
通过本课时的学习，需要我们掌握：
5.4 二次函数的图象和性质
第2课时
1．会画二次函数 与
的图象；
2.知道二次函数 及 与
的联系；
3.掌握二次函数 及 的性
质，并会应用.
caxy += 2 2)( hxay =
caxy = 2 2)( hxay = 2axy =
caxy = 2 2)( hxay =
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开
口方向、对称轴以及顶点坐标.
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
x
y=x2+1
y=x2-1
...
...
...
0 2 -1 2 3 1 ...-3
...
.
..
10 5 2 1 2 5
8
10
3 03 8 -1 0
y=x2-1
y=x2+1
结论
上下平移，上加下减
想一想：三条抛物线
有什么关系？
答：形状相同，位置不同。
三个图象之间通过沿y轴平
移可重合。
1.二次函数y=x2+c的图象是什么？答：是抛物线
2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
增减性
y的
最值
a＜0
a＞0
y=ax2+c
a＜0
a＞0
y=ax2
在对称
轴右侧在对称轴
左侧
顶 点坐
标
对称
轴开口方向函数
向上 y轴 （0,0） 最小值
是0
y随x的增
大而减小
y随x的增
大而增大
向下 y轴 （0,0）
最大值
是0 y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
向上 y轴 （0,c）
最小值
是c
y随x的增
大而减小
y随x的增
大而增大
向下 y轴 （0,c）
最大值
是c
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
画出二次函数 的图象，并考
虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－8 －4.5 －2
0
0
－2 －8－4.5
－2
－2 2
－2
－4
－6
4－4
可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1
，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（－1，0）；抛
物线 的开口向_________，对称轴是________________
，顶点是_________________．
下 x = 1
( 1 , 0 )
－2 2
－2
－4
－6
4－4
抛物线， 与抛物线
有什么关系？
可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线
；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ．
－2 2
－2
－4
－6
4－4
a＞0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 ， 顶点坐标是
在对称轴左侧（x0)
y=ax2
+k(a>0)
y=ax2(a0)
y=ax2(a0) y=ax2+bx+c(a0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小.在对称轴右侧，
y都随 x的增大而增大. a0时,向右平移;当___
0时向上平移;当_____0，b0，b2－4ac0，b2－4ac>0
y
x
O
D
3．如图，二次函数y＝ax2－bx＋２的大致图象如图所示，则
函数y＝－ax+b的图象
不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2
O x
yA
4.已知函数y=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象
如图所示，则函数y=ax+b的图象
可能正确的是（ ）
y
x
1
1O
（A）
y
x
1
-1 O
（B）
y
-1
-1
O
（C）
1
-1
y
O
（D）
【解析】选D.由二次函数的图象可知一元二次方程（x-a)(x-b）=0的解
为x1=a，x2=b，则a=1，b＜-1.所以可以得到函数的图象与y轴的交点在点
（0，-1）的下方，与x轴的交点在点（1,0）的右边，故选D.
x x
5.已知抛物线y=ax2+bx+c.在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，
正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】选D. ∵抛物线开口向下∴a＜0，∵对称轴在y轴的
右边，∴b＞0，∵抛物线与y轴交与正半轴，∴c＞0，∵当
x=1时，y＞0，即a+b+c＞0.
6．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点
坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）.
⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；
⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.
x
y
3
－1 O
解析：⑴根据题意 得,
解得
所以抛物线的解析式为
⑵令 解得
根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是
1.根据抛物线的开口方向判断a的符号.
答：抛物线开口向上，所以a＞0.
2.图中顶点横坐标 符号怎样？再结合a的符号判断b的符号.
答： ＞0，其中a＞0，∴b＜0.
3.顶点横坐标 ＞0时，b与a的符号有何关系? ＜0时，
b与a的符号有何关系？
答： ＞0时，b的符号与a的符号相异； ＜0时，b的符号与a
的符号相同.
b
2a
b
2a
b
2a
b
2ab
2a
4.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是多少?结合此坐标在y
轴的位置判断c的符号.
答:抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是(0,c),∵该点在y轴
的负半轴上，∴c＜0.
5.a+b+c是x为何值时y=ax2+bx+c的值？据此判断本题中a+b+c
的符号？
答：a+b+c是x=1时y=ax2+bx+c的值，据此判断本题中a+b+c＜0.
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