资料简介
2 三角形的内角和与外角和
1.了解三角形的内角和，会按角进行三角形的分类.
2.了解三角形外角的性质的推理过程.
3.能综合利用三角形的内外角和定理及外角的性质解
决问题.
三角形的三个内角有什么关系?
三角形的内角和等于180°.
小学里，是用什么方法得到三角形内角和为180°的结
论的？
想一想
A
B C
只撕下三角形的一个角，能得到上面的结论吗？
A
B C
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
A
B C
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
A
B C
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
A
B C
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
A
B C
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
A
B C
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
A
B C
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
E
D
A
B C
证明：在△ABC的外部以CA为边作∠ACE =∠A. 延长BC至D.
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
因为 ∠ACE =∠A,所以CE∥AB,所以∠DCE =∠B.
又因为 ∠ACE+∠DCE +∠ACB =180°,所以
∠A+∠B+∠C=180°.
由此得到三角形的内角和为180°.可推得：直角三角形的两
锐角互余.
A
B C D
E
若∠BAC＝55°，∠ B=60°，
试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE
的度数．并说出你的理由．
下图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？
探究
通过上题的计算，你发现∠ACD， ∠ CAE与三角形
的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语
言说一说．你能简述一下推导过程吗？
∠ACD= ∠BAC+∠B; ∠ACD+ ∠ACB=180°.
∠CAE= ∠ACB+∠B; ∠CAE+ ∠BAC=180°.
A
B C D
E
想一想
3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
三角形的外角与内角的关系：
归 纳
1.求下列各图中∠1的度数.
30°
60°
1
35°
120°
1
45° 50°
1
90° 95° 85°
试一试
2.把下图中∠1，∠2，∠3按由大到小的顺序排列.
3
2
1
A
B
C
D
E
∠1＞∠2＞∠3
3.如图，D是△ABC的边BC上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,
∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
A
B CD
80°
70°
【解析】（1）因为∠ADC=∠B+∠BAD，又因为
∠B=∠BAD，∠ADC=80°，所以∠B= ∠ADC=40°.
（2）因为三角形的内角和为180°，所以
∠C=180°-∠B-∠BAC=70°.
A
B
C
1
2
3
三角形的外角和等于360°
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝?从哪些途径探究这个结果？
问题探究
A
B
C
1
2
3 ∠2＋ ∠ABC=180°，
∠3＋ ∠ACB=180°.
三个式子相加得到
∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=540°，
而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
∠1＋ ∠BAC=180°，解：
方法一：
解：过A作AD平行于BC.
∠3＝∠4，B
C
1
2
3
4A
∠2＝∠BAD，
所以，∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠BAD＋∠4=360°.
两直线平行，
同位角相等
D
∠2＋∠3＝∠BAD＋∠4.
方法二：
判断题：
1.三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ ）
2.三角形的外角和等于它内角和的2倍.（ ）
3.三角形的一个外角等于两个内角的和.（ ）
4.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
（ ）
5.三角形的一个外角大于任何一个内角.（ ）
6.三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.
（ ）
练一练
A
B
C D
EFH
【例】已知:国旗上的正五角星形如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
【例题】
【分析】设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,
运用三角形内角和定理来求解.
∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和).
∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和).
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形的内角和等于180°),
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义),
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式的性质).
【解析】∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义),
A
B
C D
EF1H 2
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
1
2
3
360°
A
B C
D
EF
【跟踪训练】
1．已知△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C 满足关系式
∠B＋∠C＝3∠A．则此三角形( )
A.一定有一个内角为45°
B.一定有一个内角为60°
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
【解析】选A.因为∠B＋∠C+∠A=180°，∠B＋∠C＝
3∠A，所以4∠A=180°，∠A=45°.
2.（苏州·中考）△ABC的内角和为（ ）
A.180° B.360°
C.540° D.720°
【解析】选A.根据三角形的内角和为180°，得△ABC的内
角和为180°.故A正确.
3.已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形或锐角三角形
【解析】选B. △ABC的一个外角为50°，则与这个外角
相邻的内角是130°，所以△ABC一定是钝角三角形.
4.（昆明·中考）如图，在△ABC中，
CD是∠ACB的角平分线，∠A = 80°，
∠ACB=60°，那么∠BDC=（ ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
D
A
B C
【解析】选D.因为CD是∠ACB的平分线，
所以∠ACD= ×60°=30°，所以
∠BDC=∠A+∠ACD=80°+30°=110°.
A
B
C
D
E
5.（铜仁·中考）一副三角板，如图叠放
在一起，∠1的度数是_______度．
【解析】∠1=∠CBE+∠ADB =45°+30°=75°.
答案：75
6.（潼南·中考）如图，在△ABC中，∠A=80°,点D是BC
延长线上一点，∠ACD=150°，则∠B= .
【解析】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和，所以∠B=150°－80°=70° .
答案：70°
7.已知图中∠A，∠B，∠C分别为80°，20°，30°，求
∠1的度数.
B
2
1
A
C
D
E
【解析】根据三角形的外角定理可得：
∠1= ∠2+ ∠B，∠2=∠A+∠C，所以∠1= ∠A+ ∠C+ ∠B
= 80°+ 30°+ 20°= 130°.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.三角形的外角的两个性质.
① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
② 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
2.三角形的外角和是360°.
第一个青春是上帝给的；第二个青春是靠自己
努力的.
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