资料简介
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第2课时
【知识再现】
1.直角三角形的两个锐角_________.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________.
互余
一半
【新知预习】阅读教材P4-6，归纳结论：
1.按要求画图：
(1)画∠MON，使∠MON=30°，
(2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，
量一量PO，PK的长度，PO，PK有什么关系？
(3)在OM上再取点Q，R，分别过Q，R作ON的垂线QD，RE
，垂足分别为D，E，量一量QD，OQ，它们有什么关系
？量一量RE，OR，它们有什么关系？
由此你发现了什么规律？
直角三角形中，如果有一个锐角等于_________，
那么它所对的___________等于_______________.
30°
直角边 斜边的一半
2.探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那
么它所对的直角边为什么等于斜边的一半.
如图，Rt△ABC中，∠A=30°，
BC为什么会等于 AB？
证明：取AB的中点D，连接CD，则AD=BD，
因为CD为Rt△ABC斜边的中线，
所以_____________.
又因为∠A=30°，所以∠B=_________，
CD= AB
60°
所以△CDB为_________三角形，
所以BC=_______，
所以BC=_________.
得出结论：___________________________________
_________________________________________.
等边
CD
AB
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.(2019·天津河西区模拟)如图，Rt△ABC中，
∠C=90°，BC=10，∠A=30°，则AC的长度为 ( )D
A.8 B.12
C.10 D.10
2.(2019·长沙天心区期末)如图，一棵树在一次强台
风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°
夹角，这棵树在折断前的高度为 ( )C
A.4米 B.8米
C.12米 D.(3+3 )米
3.(2019·南通市海安县期末)在△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的高，∠A=30°，以下说法错误的是
( )A
A.AD=2CD B.AC=2CD
C.AD=3BD D.AB=2BC
知识点一 含30°角的直角三角形性质的应用
(P4动脑筋拓展)
【典例1】如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8，
CD⊥AB于点D.求BC，AD的长.
【自主解答】∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°，
∴BC= AB=4，
∵CD⊥AB，∠B=60°，
∴∠DCB=30°，
∴BD= BC=2，
∴AD=AB-BD=8-2=6.
【学霸提醒】
含30°角的直角三角形性质的“两种应用”
1.证明：用来证明三角形中线段的倍分问题.
2.求解：知道30°角所对的直角边的长，求斜边的长，
或知道斜边的长，求30°角所对的直角边的长.
【题组训练】
1.(2019·河池期末)如图，在△ABC中，
∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，
DE⊥BC于E，若BE=1，
则AC的长为( )
C
A.2 B. C.4 D.2
★2.(2019·长春南关区期末)如图，在△ABC中，
∠C=90°，∠B=30°，AC=3.若点P是BC边上任意一
点，则AP的长不可能是 ( )
A.7 B.5.3
C.4.8 D.3.5
A
★3.(2019·北京东城区期末)如图，在△ABC中，
∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平
分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为 世纪金
榜导学号( )
A.2 B.4 C.6 D.8
C
★★4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，DE
垂直平分线段AC. 世纪金榜导学号
(1)求证：△BCE是等边三角形.
(2)若BC=3，求DE的长.
解：(1)在△ABC中，
∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-30°=60°.
∵DE垂直平分AC，
∴EC=EA，∴∠ECA=∠A=30°，
∴∠BEC=60°，
∴△BCE是等边三角形.
(2)由(1)得，EC=BC=3，
在Rt△ECD中，∵∠ECD=30°，
∴DE= EC= ×3= .
知识点二 直角三角形性质的综合应用
(P5例3拓展)
【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，
点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，
G是FC的中点，连接GD.求证：GD⊥DE.
【自主解答】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，FD⊥BC，
∴∠BED=∠FDC=90°，
∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°，
∴∠1=∠3，
∵G是直角三角形FDC的斜边中点，
∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，
∵∠FDC=∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠2+∠FDE=90°，
∴GD⊥DE.
【学霸提醒】
直角三角形性质的应用及注意事项
1.性质应用：
30°角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊
度数的角(30°或60°)的特殊定理，反映了直角三角
形中边角之间的关系，主要作用是解决直角三角形中
的有关计算或证明问题.
2.两点注意：
(1)必须在直角三角形中，非直角三角形不具备该性质.
(2)只有30°的角所对的直角边等于斜边的一半，其他
度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系.
【题组训练】
1.(2019·哈尔滨香坊区期末)如图，
在等边△ABC中，AD=BD，过点D作
DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，
若AF=6，则线段BE的长为_______. 世纪金榜导学号 15
★2.(2019·合肥瑶海区期末)如图，在△ABC中，
AB=AC=2，∠B=75°，则点B到边AC的距离为______. 1
★★3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是直角边AC
上的点，且AD=BD=2a，∠A=15°，求BC边的长.世纪金
榜导学号
解：由AD=BD可推出∠2=∠A=15°，
所以∠1=∠2+∠A=15°+15°=30°.
在Rt△BCD中，∠1=30°，
可推出BC= BD= ×2a=a.
【火眼金睛】
如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，
∠C=60°，CD=4 cm，求BC的长.
【正解】∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，
又∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
∵∠C=60°，∴∠BDC=90°，
∴BC=2CD=2×4=8(cm).
【一题多变】
如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且
DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：
DF=2DC.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°，
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形.
∴ED=DC，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=2CD.
【母题变式】
(变换问法)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在
边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线
于点F，求∠F的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°.
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