资料简介
2 平行四边形的判定
第1课时
【知识再现】
1.平行四边形:两组对边分别_________的四边形叫做平
行四边形.
2.平行四边形的性质定理:
(1)平行四边形的对边_________;
平行
相等
(2)平行四边形的对角_________;
(3)平行四边形的对角线_____________.
相等
互相平分
【新知预习】 阅读教材P140-142,完成探究过程,归
纳有关结论:
1.猜想:用两根长30 cm的木条和两根长
20 cm的木条作为四边形的四条边,能
否拼成一个平行四边形?
验证:连接BD,
∴△ABD≌ ______(SSS).∴∠1=____,∠2=____.
∴AB∥_______,AD∥_______,
△CDB ∠3 ∠4
CD CB
∴四边形ABCD是平行四边形.
结论:两组对边_____________的四边形是平行四边形.
几何语言: ∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边
形.
分别相等
2.猜想:将两根同样长的木条AB,CD平行放置,再用木条
AD,BC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?
验证:连接AC.∵AB∥CD,∴∠1=________.
又AB=_______,AC=_______,
∴△ABC≌__________(SAS),∴BC=_______,
∴四边形ABCD的两组对边分别相等,它是平行四边形.
∠2
CD CA
△CDA DA
结论:一组对边_______________的四边形是平行四边
形.
几何语言: ∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边
形.
平行且相等
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是
平行四边形,下列添加的条件不正确的是 ( )B
A.AB=CD B.BC=AD
C.∠A=∠C D.BC∥AD
2.在四边形ABCD中,若AD=8,AB=4,那么当BC=______,
CD=______时,四边形ABCD是平行四边形.
8
4
3.如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
(1)求证:△ACD≌△CBE.
(2)连接DE,求证:四边形CBED是平行四边形.
略
知识点一 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(P140内容拓展)
【典例1】(2018·绍兴中考)如图1,窗框和窗扇用
“滑块铰链”连接,图3是图2中“滑块铰链”的平面示
意图,滑轨MN安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,交
点A处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D始终在
一直线上,延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20 cm,AE=CD
=10 cm,BD=40 cm.
(1)窗扇完全打开,张角∠CAB=85°,求此时窗扇与窗框
的夹角∠DFB的度数.
(2)窗扇部分打开,张角∠CAB=60°,求此时点A,B之间
的距离(精确到0.1 cm).
(参考数据: ≈1.732, ≈2.449)
【规范解答】(1)∵AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm,
∴四边形ACDE是平行四边形,
…………平行四边形的判定
∴AC∥DE, …………平行四边形的性质
∴∠DFB=∠CAB, …………平行线的性质
∵∠CAB=85°,
∴∠DFB=85°.
(2)作CG⊥AB于点G,
∵AC=20 cm,∠CGA=90°,∠CAB=60°,
∴AG= AC=10 cm,
………………30°角的直角三角形的性质
CG= cm, ……勾股定理
∵BD=40 cm,CD=10 cm,
∴CB=30 cm,
∴BG= (cm),
………………勾股定理
∴AB=AG+BG=10+10 ≈10+10×2.449=34.49≈
34.5(cm),即A,B之间的距离约为34.5 cm.
【题组训练】
1.顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从
①AB∥CD;②BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D四个条件中
任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”
这一结论的情况共有 ( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.1种
C
★2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD成
为平行四边形,则应增加的条件是 ( )B
A.AB=CD B.∠BAD=∠DCB
C.AC=BD D.∠ABC+∠BAD=180°
★3.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的
点,且EF∥BC,DE∥BF,则图中共有______个平行四边
形.(平行四边形ABCD除外) 世纪金榜导学号
3
★★4.(2019·盐城东台市月考)如图,已知△ABC,分别
以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形
:△ABE,△BCD,△ACF,求证:四边形DEAF是平行四边形.
证明:∵△ABE,△BDC都是等边三角形,
∴BE=AB,BD=BC,∠EBA=∠DBC=60°,
∴∠DBE=60°-∠DBA,∠ABC=60°-∠DBA,
∴∠DBE=∠ABC,在△DBE和△ABC中,
∴△DBE≌△CBA(SAS),∴DE=AC,
又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF,∴DE=AF.
同理可得:△ABC≌△FDC,∴DF=AB=AE.
∵DE=AF,EA=DF,∴四边形DEAF为平行四边形.
【我要做学霸】
从两边的角度证明平行四边形的方法
(1)两组对边分别_________的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别_____的四边形是平行四边形.
平行
相等
知识点二 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(P141例1拓展)
【典例2】(2018·孝感中考)如图,B,E,C,F在一条直线
上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连接AD.求证:四边形
ABED是平行四边形.
【尝试解答】∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=______,∠ACB=____, ……平行线的性质
∵BE=CF,
∴BE+_______=CF+_______, …………等式性质
∴BC=EF.
∠DEF ∠F
CE CE
∴△ABC≌ __________, …………ASA,
∴AB=_______, …………全等三角形的性质
△DEF
DE
又∵AB∥DE,∴四边形ABED是平行四边形.
………………平行四边形的判定
【学霸提醒】
从边的角度判定平行四边形的“两点注意”
(1)已知两组对边:可以通过判定这两组对边分别平行,
也可以通过判定这两组对边分别相等来证明四边形是
平行四边形.
(2)已知一组对边:需要证明这一组对边平行且相等.
【题组训练】
1.四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,则下列结论中错误的
是 ( )
A.∠A=∠C B.AD∥BC
C.∠A=∠B D.对角线互相平分
C
★2.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥CB,且AD>BC,BC=
6 cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由
A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动,则______秒后
四边形ABQP为平行四边形. 世纪金榜导学号
2
★★3.(2019·哈尔滨南岗区月考)如图,BD是△ABC的
角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.求证
:四边形ADEF是平行四边形.
证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBE,
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE,
∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE.
∵BE=AF,∴AF=DE,
∵AF∥OE,
∴四边形ADEF是平行四边形.
【火眼金睛】
在平行四边形ABCD中,点E,F分别为一组对边的中点,则
图中有几个平行四边形?并写出.
正解:有6个平行四边形,分别为:▱ABFE,▱EFCD,▱ABCD,
▱AFCE,▱BFDE,▱MFNE.
【一题多解】
如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:
四边形DEBF是平行四边形.
证明:方法一:(利用两组对边分别相等)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AD=CB,
∴∠DAE=∠BCF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF,
∴DE=BF,
同理可得,△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
方法二:(利用一组对边平行且相等)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AD=CB,
∴∠DAE=∠BCF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF,
∴DE=BF,∠ADE=∠CBF,
∵∠DEF=∠DAE+∠ADE,
∠BFE=∠BCF+∠CBF,
∴∠DEF=∠BFE,
∴DE∥BF,
又∵DE=BF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
【核心点拨】根据已知平行四边形判定另一个平行四
边形的一般思路是:平行四边形的性质→对应元素相等
→三角形全等→对应元素相等→平行四边形的判定.
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