资料简介
2.5.4
三角形的内切圆
【知识再现】
1.经过三角形三个_________的圆叫作这个三角形的外
接圆.三角形外接圆的圆心叫作这个三角形的_________,
三角形的外心就是三角形三条边的_______________的
交点.
顶点
外心
垂直平分线
2.圆外一点所画的圆的两条切线的_____________. 长度相等
【新知预习】阅读教材P72-73,归纳结论:
1.三角形内切圆的相关概念:与三角形_________都
_________的圆,叫作三角形的内切圆,圆心叫作三角
形的_________,三角形叫作圆的_________三角形.
三边
相切
内心 外切
2.三角形的内心的位置:三角形三条_____________的
交点.
3.三角形的内心的性质:到三角形三边的距离都_____.
角平分线
相等
4.三角形内切圆的作法:先作三角形的两个内角的
___________线,并交于点P,过P向任意一边作_________
PM,以点P为圆心,PM为半径作圆,所得的圆就是三角
形的内切圆.
角平分 垂线段
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.正三角形的内切圆半径为1,那么它的边长为 ( )
A.2 B.2
C. D.3
B
2.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接
OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是_________. 70°
知识点一 三角形的内切圆(P74,练习3拓展)
【典例1】 (2019·南京高淳区期中)如图,☉I是
△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,则∠DFE的度数为
.
(2)若∠DFE=50°,求∠A的度数.
【思路点拨】(1)直接利用切线的性质结合三角形内角
和定理以及圆周角定理得出答案.
(2)利用圆周角定理得出∠DIE的度数,进而得出∠A的
度数.
【自主解答】(1)连接ID,IE,
∵∠B=50°,∠C=70°,
∴∠A=60°,
∵☉I是△ABC的内切圆,
切点分别是D,E,F,
∴∠IDA=∠IEA=90°,
∴∠DIE=180°-60°=120°,
∴∠DFE的度数为60°.
(2)∵∠DFE=50°,∴∠DIE=100°,
∵AB,AC分别与☉I相切于点D,E,
∴∠ADI=∠AEI=90°,∴∠A=80°.
【学霸提醒】
直角三角形内切圆的半径的“两种求法”
已知直角三角形直角边为a,b,斜边为c,直角三角形内
切圆半径为r.
(1)切线长定理:根据切线长定理推得,a-r+b-r=c,即
r=
(2)面积法:根据三角形面积等于三角形的周长与三角
形内切圆半径乘积的一半,得 ab= (a+b+c)r,即
r=
【题组训练】
1.(2019·昆明官渡区期末)如图,☉O是
△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,
∠C=60°,则∠DOE=( )
A.70° B.110° C.120° D.130°
B
2.(2019·娄底中考)如图,边长为2 的等边△ABC的
内切圆的半径为 ( )
A.1 B. C.2 D.2
A
知识点二 内心(P74例6拓展)
【典例2】(2019·南京玄武区期中)如图,☉O是△ABC的
内切圆,切点分别为D,E,F,∠ABC=60°,∠ACB=70°.
(1)求∠BOC的度数.
(2)求∠EDF的度数.
【思路点拨】(1)由题意可知BO,CO分别是∠ABC和
∠ACB的平分线,则∠OBC和∠OCB的度数可求出,进而可
求出∠BOC的度数.
(2)连接OE,OF.由三角形内角和定理可求得∠A=50°,
由切线的性质可知:∠OFA=90°,∠OEA=90°,从而得到
∠A+∠EOF=180°,故可求得∠EOF=130°,由圆周角定
理可求得∠EDF=65°.
【自主解答】(1)∵☉O是△ABC的内切圆,
切点分别为D,E,F,
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∴∠OBC= ∠ABC=30°,
∠OCB= ∠ACB=35°,
∴∠BOC=180°-30°-35°=115°.
(2)略
【学霸提醒】
三角形的内切圆和内心
(1)一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数
多个外切三角形.
(2)三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,钝角三
角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的
内部,三角形的内心到三边的距离相等.
【题组训练】
1. (2019·河北一模)如图,点O是
△ABC的内心,M,N是AC上的点,且
CM=CB,AN=AB,若∠ABC=100°,则
∠MON= ( )
A.60° B.70° C.80° D.100°
C
★★2.(2019·川汇区期末)如图,点I是△ABC的内心
,AI的延长线交BC于点D,与△ABC的外接圆相交于点E,
连接BE.
(1)求证:BE=IE.
(2)若AD=6,DE=2,求AI的长.
略
【火眼金睛】
如图,在△ABC中,∠A=45°,O是内心,则∠BOC=
°.
正解:∵☉O是△ABC的内切圆,
∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB=
∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=
(∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A),
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (180°-
∠A)=90°+ ∠A=90°+ ×45°=112.5°.
答案:112.5°
【一题多变】
在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=8,CB=6,则△ABC内切圆的
周长为________. 4π
【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图,在△ABC
中,AB=5,AC=4,BC=3,按以下步骤作
图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,
分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于
MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;
④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则
OC= .
【变式二】(变换问法)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠B=60°,内切圆O与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,
则∠DEF的度数为_________. 75°
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