资料简介
2.5.2 向量在物理中的应用
三维目标
1.通过力的合成与分解的物理模型，速度的合
成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究
物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应
用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念
和向量运算的认识。
2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学
生的数学应用意识，提高应用数学的能力。体
会数学在现实生活中的重要作用。养成善于发
现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中
的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良
好习惯。
重点难点：
重点：
1.运用向量的有关知识对物理中力的作 用、
速度的分解进行相关分析和计算。
2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法。
难点：
将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的
问题。
课时安排：1课时
一、向量与物理学的联系
向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在
物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技
术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用
向量研究物理问题的相关知识！
1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中，
力、速度、加速度、位移等都是向量！
2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加
减法，运动的叠加也用到向量的合成！
3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积.
二、应用举例
例1：说明同一平面内，互成 的三个大
小相等的共点力的合力为零。
B
O120º
a
b c
D
C
A
证：如图，用a，b，c表示这3个共点
力，且a，b，c互成120°，模相等
按照向量的加法运算法则，有：
a +b +c = a +（b +c）=a +OD
又由三角形的知识知：三角形OBD为
等边三角形，故 a与OD共线且模相等
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人
共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上
做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能
从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示的
是同个问题，抽象为数学模型如
下：
F2
θ
F1
F
G
用向量F1，F2，表示两个提力，它们
的合向量为F，物体的重力用向量G
来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图
所示，只要分清F，G和θ三者的关系，
就得到了问题得数学解释！
θ
F1
F
G
F2
cos 2
θ
探究：
（1）θ为何值时， 最小，最小值是多少
？
F1
（2） 能等于 吗？为什么？ F1 G
F1解：不妨设 = ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道：
= （*）
通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变
大时， 由0º到90º逐渐变大， 的值由大逐
渐变小，因此 ：
由小逐渐变大，即F1 ，F2之间
的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
F1
G
F2
cos 2
θ
2
θ cos 2
θ
2
F1
答：在（*）式中，当θ =0º时， 最大， 最小且等于cos 2
θ F1
G
2
答：在（*）中，当 = 即θ=120º时， = cos 2
θ 1
2 F1 G
F2
求：1）│F1│，│F2│随角 的变化而变化的情况；
2）当│F1│ 2│G│时，求 的取值范围。
例3：如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为
G物体，绳子与垂直方向的夹角为
绳子所受的拉力为F1 ，
G
F2
F1 O
问题延伸：
解:1）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形
法则知：－G = F1 + F2
O
F2
F1 －G
│F2│＝ │G│
解直角三角形得│F1│＝ │G│，
│F1│，│F2│皆逐渐增大；
2）令│F1│＝ │G│ 2│G│，
得
归纳：
（1）为了能用数学描述这个问题，我们要先
把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只
考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！
（2）由物理中的矢量问题化成数学中的向量
问题，用向量的有关法则解决问题！
（3）用数学的结果解决物理问题，回答相关
的物理现象。
例4：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一
艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h，水流
的速度 = 2km/h。
问:（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
v1
v2
分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所
以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的
方向时，小船的航程最小。
（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河
岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上
的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸
方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船
垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小
船过河所用时间才最短。
500m
A
把物理问题转化为数学模型为：
解:（1） = =
所以
t = = 60
答：行驶的航程最短时，所用的时间是
3.1min。
v - v1
2
v2
2
96
d
v
0.5
96
~~ 3.1（min）
（2） t = = 60 = 3 （min）
答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min
d
v1
0.5
10
（1）
A
B
v1
v2
v
（2
）
v2
v1
v
km/h
（1）如图所示，用两条成120º的等长的绳
子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，
则每根绳子的拉力是
————。 120º10N
问题延伸：
(2)如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P
处，从这里起，在下游 =80m处河流有一处瀑
布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河
岸平行），水速大小为5m/s,为了使小船能安全
过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，
划速方向如何？
P
Q
瀑
布
θ
Q，
60m
P Q
瀑
布
θ
V船
V水
V合的方向
θP
Q从图上看，哪个速度（向量的模）最小？
分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速
和它们的合速度为 、 和 ，由题意，
船的实际速度为向量
其方向为临界方向 ，船只要朝着这个方向行
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
PQ
V船 V水V合= +
V船V水 V合
解：由题意知：
其方向为临界方向 ，设 和 夹角为
θ，则最小划速为：
sinθ = =
所以：最小的船速应为：
V船 V水V合 = +
PQ V水V合
v船 = v水 sinθ
v船 = 5 × sinθ =5 × =3（m/s）
提问:表示划船速度的向量怎样画?
1.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、
水速为v2，若船是垂直到达对岸的，则船
在河中实际航行速度的大小为( )
A.v1
2-v2
2 B.|v1|2+|v2|2
D
三、巩固练习：
2.人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则
逆风行驶的速度大小为( )
A.v1-v2 B.|v1|+|v2|
C.|v1|-|v2| D.|v1-v2|
C
3.三个力F1、F2、F3同时作用于O点且处于
平衡状态,已知F1与F3的夹角为120°,又|F1|
＝|F2|＝20N,则|F3|＝ . 20N
4.某人骑车以a km/h的速度向东行驶，感
到风是从正北方向吹来；而当速度为2a
km/h时,感到风是从东北方向吹来,试求实
际的风速和风向.
四、归纳小结
物理现象
向量问题
向量问题的解
抽象 概括
利用向量 知识解决
解
释
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模
型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解
决实际问题；
（4）用所得的结果解释物理现象。
通过这节课的学习，我们应掌握什么内容？
作业：
1、上交：教材P113 习题2.5 A组 3、4;
B组 3、3.
2、课外: 资料P67-69
课后反思：
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