资料简介
3 线段的垂直平分线
第2课时
【知识再现】
线段垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点的距离_________.
线段垂直平分线判定定理:到一条线段两个端点距离相
等的点,在这条线段的_______________上.
相等
垂直平分线
【新知预习】 阅读教材P24-25,解决以下问题
1.三角形三条边的垂直平分线的性质
探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝
角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置,
并测量各个交点到三角形顶点的距离.
结论:①锐角三角形三边的垂直平分线交点在_______
_______;直角三角形三边的垂直平分线交点在_______
_____;钝角三角形三边的垂直平分线交点在_________
_____.②三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的
距离_________.
三角
形内 斜边
上 三角形
外
相等
你发现的规律:三角形三条边的垂直平分线交于_____
_____,且这一点到三角形三个顶点的距离_________.
一
点 相等
2.利用三角形三条边的垂直平分线的性质尺规作图
已知底边及底边上的高,能用尺规作出等腰三角形;能
用尺规过一点作已知直线的垂线.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的
外部,那么这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
C
2.如图,已知点O是等腰三角形三边垂直平分线的交
点,AB=AC,且∠A=50°,则∠BOC的度数是
__________.
100°
知识点一 三角形三条边的垂直平分线的性质
【典例1】已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分
线交于点P.则下列结论一定成立的个数为( )B
①PA=PB=PC.
②点P在AC的垂直平分线上.
③∠BPC=90°+ ∠BAC.
④∠BAP=∠CAP.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【学霸提醒】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂
直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题
的关键.
【典例2】如图,点P为△ABC三边垂直平分线的交点,若
∠PAC=20°,∠PCB=30°,求∠PAB的度数.
【规范解答】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点,
∴PA=PC=PB,
……………………三角形三条边的垂直平分线的性质
∴∠PAC=∠PCA=20°, …………等边对等角
∠PBC=∠PCB=30°, …………等边对等角
∵∠PAB=∠PBA,
∴∠PAB= (180°-2×20°-2×30°)
……………………三角形内角和等于180°
=40°.
【学霸提醒】
利用线段垂直平分线的性质得到PA=PB=PC是解题的关
键.再由等腰三角形的性质证得∠PAC=∠PCA=20°,
∠PBC=∠PCB=30°,由∠PAB=∠PBA,根据三角形的内
角和即可推出结论.
【题组训练】
1.(2019·菏泽牡丹区期中)如图,有A,B,C三个居民小
区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市
到三个小区的距离相等,则超市应建在 ( )B
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边垂直平分线的交点处
C.AC,BC两边中线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
★2.如图,在△ABC中,点D是边AB,BC的垂直平分线交点,
连接AD并延长交BC于点E,若∠AEC=3∠BAE=3α,则
∠CAE=_____________(用含α的式子表示). 90°-2α
★★3.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于
点D,垂足分别为E,F.已知∠BAC=100°,∠EDF等于
80°,∠ACB=30°,求∠ABD的度数. 世纪金榜导学号
解:连接AD,
∵边AB,AC的垂直平分线相交于点D,
∴BD=AD,AD=CD,
∴∠DBA=∠DAB,
∠DCA=∠DAC,BD=CD,
∴∠DBC=∠DCB,
设∠DBC=∠DCB=x°,
∵∠BAC=100°,∠ACB=30°,
∴∠ABC=50°,∴x+50+30+x=100,
解得:x=10,即∠DBC=10°,
∴∠ABD=10°+50°=60°.
知识点二 利用三角形三条边的垂直平分线的性质尺规
作图
【典例3】如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大
于 AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,
交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC
的周长为 ( )C
A.7 B.14 C.17 D.20
【学霸提醒】
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.解题时要注
意数形结合思想的应用.
【题组训练】
1.如图,已知线段a,h,作等腰△ABC,使AB=AC,且BC=a,
BC边上的高AD=h.张红的作法是:①作线段BC=a;②作线
段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;③在直线MN上
截取线段h;④连接AB,AC,则△ABC为所求的等腰三角形.
上述作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是
( )
A.① B.② C.③ D.④
C
★2.如图所示,A,B是直线l外两点,在l上求作一点P,使
PA+PB最小,其作法是 ( )
A.连接BA并延长与l的交点为P
B.连接AB,并作线段AB的垂直平分线与l的交点为P
D
C.过点B作l的垂线,垂线与l的交点为P
D.过点A作l的垂线段AO,O是垂足,延长AO到A′,使
A′O=AO,再连接A′B,则A′B与l的交点为P
★3.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别
以B,C为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两弧相交
于两点M,N;
②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则
∠ACB的度数为 世纪金榜导学号( )
A.90° B.95° C.100° D.105°
D
★★4.如图所示,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个
村庄,A村到公路l的距离AC=1 km,B村到公路l的距离
BD=2 km,B村在A村的南偏东45°方向上. 世纪金榜导
学号
(1)求A,B两村之间的距离.
(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车
站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出
点P的位置.(保留作图痕迹,并简要写明作法)
解:(1)根据题意可得∠A=∠B=45°,
∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形.
∴AO= ,BO=2 .
∴A,B两村的距离为AB=AO+BO
= +2 =3 (km).
(2)作法:①分别以点A,B为圆心,以大于 AB的长为半
径作弧,两弧交于两点M,N,作直线MN;
②直线MN交l于点P,点P即为所求.
【火眼金睛】
在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并
且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
正解:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴A与E都在线段BC的垂直平分线上,
则AD垂直平分BC.
【一题多变】
如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边
的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
解:(1)∵DM是AC边的垂直平分线,∴MA=MC,
∵EN是BC边的垂直平分线,∴NB=NC,
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20 cm.
(2)∵MD⊥AC,NE⊥BC,
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°,
∴∠A+∠B=70°,
∵MA=MC,NB=NC,
∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,
∴∠MCN=40°.
【母题变式】
【变式一】(变换条件) 如图,在△ABC中,AB边的垂直
平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1
与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为6 cm,
△OBC的周长为16 cm.
(1)求线段BC的长.
(2)连接OA,求线段OA的长.
(3)若∠BAC=120°,求∠DAE的度数.
解:(1)∵l1是AB边的垂直平分线,
∴DA=DB,
∵l2是AC边的垂直平分线,
∴EA=EC,
BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6 cm.
(2)(3)略
【变式二】(变换问法)如图,在△ABC中,边AB的垂直平
分线交BC,AB于点E,M,边AC的垂直平分线交BC,AC于点
F,N,△AEF的周长是10.
若∠B+∠C=45°,EF= ,求△AEF的面积.
略
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