资料简介
2 直角三角形
第2课时
【知识再现】
三角形全等的判定方法:SSS,__________,ASA,
________.
SAS
AAS
【新知预习】 阅读教材P18-19,回答下列问题
探究:“HL”定理.
已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′
=90°,AB=A′B′,BC=B′C′.
求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴AC2=AB2-BC2(_____
_________).
同理,A′C′2=A′B′2-B′C′2(_____________).
∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌
Rt△A′B′C′(________).
勾
股定理
勾股定理
SSS
归纳:(1)斜边、直角边定理(HL):_________________
_____分别相等的两个直角三角形全等.
(2)符号语言:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
∠C=∠C′=90°,
斜边和一条直角
边
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
(3)判断两个三角形全等的方法:①________________、
②边角边(SAS)、③______________、④角边角(ASA)、
⑤_____________________.
边边边(SSS)
角角边(AAS)
斜边、直角边(HL)
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列可使两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一条边对应相等 B.两条直角边对应相等
C.一个锐角对应相等 D.两个锐角对应相等
B
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下
列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是
( )A
3.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ
上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=______. 7
知识点一 斜边、直角边定理(HL)
【典例1】如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,
AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB.
(2)△OBC是何种三角形?证明你的结论.
【规范解答】(1)在Rt△ABC和
Rt△DCB中,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
……………………直角三角形全等的判定
(2)△OBC是等腰三角形.
理由是:
∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,
………………………………全等三角形对应角相等
∴OB=OC, …………等角对等边
∴△OBC是等腰三角形.
【学霸提醒】
直角三角形全等应用的思路
1.由题目已知中的垂直或直角找出两个直角三角形.
2.分析条件,证明两个直角三角形全等.
3.由全等三角形的性质得角或线段的相等关系.
【题组训练】
1.如图,AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D,若CB=CD,且∠1=
30°,则∠BAD的度数是 ( )
A.90° B.60° C.30° D.15°
B
★2.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明
Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是( )
A.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC
D
★★3.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,
且EC⊥AC于点C,AE=BF.试判断AE和BF的位置关系,并说
明理由. 世纪金榜导学号
解:AE⊥BF,理由如下:
∵AE=BF,AB=AC,
∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL),∴∠CAE=∠ABF,
∵∠ABF+∠AFB=90°,
∴∠CAE+∠AFB=90°,
∴∠ADF=90°,即AE⊥BF.
知识点二 直角三角形全等的判定方法
【典例2】如图,AB=12,CA⊥AB于点A,
DB⊥AB于点B,且AC=4 m,P点从B向A运
动,每分钟走1 m,Q点从B向D运动,每分钟走2 m,P,Q两
点同时出发,运动 分钟后△CAP与△PQB全等.
【规范解答】∵CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,
∴∠A=∠B=90°, ………… 垂直定义
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;
则BP=x m,BQ=2x m,则AP=(12-x) m,
………………………………未知量设法
分两种情况: ………………………………分类思想
①若BP=AC,则x=4,
AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ, …………线段和差运算
∴△CAP≌△PBQ; …………全等三角形判定
②若BP=AP,则12-x=x,解得:x=6,BQ=12≠AC,此时
△CAP与△PQB不全等;
综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等.
答案:4
【题组训练】
1.(2019·广州海珠区模拟)下列判断一定正确的是
( )
A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全
等
B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等
A
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全
等
D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角
形全等
★2.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点
E,BD和CE交于点O,AO的延长线交BC于点F,则图中全等
的直角三角形有世纪金榜导学号( )
A.4对 B.5对
C.6对 D.7对
C
★3.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,DE⊥AC,若想判定
△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是___________
________________. 世纪金榜导学号
DB=AB(或
DE=AC或BE=BC)
★★4.如图:AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,EF过点C,
BE⊥EF于E,DF⊥EF于F,BE=DF.求证:Rt△BCE≌Rt△DCF.
世纪金榜导学号
证明:连接BD,
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC,
∵BE⊥EF,DF⊥EF,∴∠E=∠F=90°,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).
【火眼金睛】
已知,如图,在△ABC中,DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,求
证:AD平分∠BAC.
正解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,
在Rt△AED与Rt△AFD中,
AD=AD,DE=DF,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴∠DAE=∠DAF,
∴AD平分∠BAC.
【一题多变】
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN经过点A,
过点B作BD⊥MN于点D,过点C作CE⊥MN于点E.
(1)求证:△ABD≌△CAE.
(2)若BD=12 cm,DE=20 cm,
求CE的长度.
解:(1)∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,
又∵BD⊥MN,CE⊥MN,
∴∠BDA=∠AEC=90°,∠CAD+∠ACE=90°,
∴∠BAD=∠ACE,又AB=AC,
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
(2)∵△ABD≌△CAE,
∴BD=AE,AD=CE,
∵BD=12 cm,DE=20 cm,
∴AE=12 cm,AD=AE+DE=12 cm+20 cm
=32 cm,∴CE=32 cm.
【母题变式】
【变式一】如图(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
DE是过A的一条直线,且点B,C在DE的同侧,BD⊥DE于D
点,CE⊥DE于E点,
(1)求证:AD=CE. 世纪金榜导学号
(2)求证:DE=CE+BD.
(3)若直线DE绕A点旋转到图(2)位置时,其余条件不变,
问BD,DE,CE之间的数量关系如何?请说明理由.
略
【变式二】在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥
DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若B,C在DE的同侧(如图1所示)且AD=CE.
求证:AB⊥AC.
(2)若B,C在DE的两侧(如图2所示),其他条件不变,AB与
AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.
解:(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACE中,
∵AB=AC,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,
∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.
∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.证明如下:
同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA,
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
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