资料简介
1 等腰三角形
第2课时
【知识再现】
1.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作
_________,顶点和垂足间的_________叫做三角形的
高.
2.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边
中点的_________叫做三角形的中线.
垂线 线段
线段
3.三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个
角的对边相交,连接这个角的顶点与交点的_________
叫做三角形的角平分线.
4.等边三角形的定义:___________都相等的三角形叫
做等边三角形.
线段
三条边
【新知预习】 阅读教材P5的内容,回答下
列问题:
探究:等腰三角形两底角的平分线有何关
系?你能画一个等腰三角形并作出它的
两底角的平分线吗?
通过观察、测量,可猜想:等腰三角形两底角的平分线
_________. 你能尝试证明你猜想的结论吗?
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD和
CE是△ABC的角平分线.
求证:BD=CE.
相等
证明:∵AB=AC,∴__________=__________.
∵BD,CE为∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠3=∠1= __________,∠2=∠4= __________.
∴∠3=∠4.
∠ABC ∠ACB
∠ABC ∠ACB
在△ABD和△ACE中,∠3=∠4,AB=AC,____________.
∴△ABD≌△ACE(________).∴BD=CE(_____________
_______________).
∠A=∠A
ASA 全等三角形
的对应边相等
归纳:
等腰三角形重要线段的结论:
等腰三角形两个底角的平分线_________;
等腰三角形腰上的高_________;
等腰三角形腰上的中线_________.
相等
相等
相等
等边三角形的性质:
1.等边三角形三边_________.
2.等边三角形的三个内角都_________并且每个角都
等于_________.
相等
相等
60°
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°,
则顶角的度数为 ( )
A.50° B.80°
C.100° D.130°
B
2.如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,
则AE=______. 3
3.如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD,CE相交于点O.求证
:OB=OC.
证明:∵BD,CE是△ABC的两条中线,
∴CD= AC,BE= AB,
∵AB=AC,∴CD=BE,∠EBC=∠DCB.
在△EBC和△DCB中,
BE=CD,∠EBC=∠DCB,
BC=CB,
∴△EBC≌△DCB(SAS),
∴∠ECB=∠DBC,
∴OB=OC.
知识点一 等腰三角形中相关线段的性质
(教材P5例1拓展)
【典例1】如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,
BE⊥AC于点E,
求证:DE∥BC.
【规范解答】
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB. …………等腰三角形两底角相等
又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,
∴∠AEB=∠ADC=90°, …………垂直的定义
∴∠ABE=∠ACD, …………同角的余角相等
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD, …………等式性质
∴∠EBC=∠DCB.
在△BEC与△CDB中,
∴△BEC≌△CDB, ……………………………………
有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
∴BD=CE, ……………………全等三角形的对应边相等
∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE, …………等式性质
∴∠ADE=∠AED. …………等腰三角形两底角相等
又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角,
∴∠ADE=∠ABC, ………………………………………
顶角相等的两个等腰三角形底角也相等
∴DE∥BC. ………同位角相等,两直线平行
【题组训练】
1.(2019·丹江口模拟)如图,已知AD,BE
分别是△ABC的中线和高,且AB=AC,
∠EBC=20°,则∠BAD的度数为 ( )
A.18° B.20°
C.22.5° D.25°
B
★2.下列说法: 世纪金榜导学号
(1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;
(2)等腰三角形的两腰上的中线长相等;
(3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;
(4)等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周
长是32或40.
其中不正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
★★3.如图,AB=AC,BD=DC,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别是
F,E.
求证:DE=DF.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DF⊥AB,DE⊥AC,
∴∠BFD=∠CED=90°,
∵BD=DC,
∴△BDF≌△CDE,
∴DE=DF.
【我要做学霸】
等腰三角形重要线段的结论
等腰三角形两底角的平分线_________,两腰上的中线
_________,两腰上的高_________.
相等
相等 相等
知识点二 等边三角形的性质
(P7随堂练习T2拓展)
【典例2】如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC
上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.
(1)求证:△ABE≌△CAD.
(2)求∠PBQ的度数.
【尝试解答】(1)∵△ABC为等边三角形.
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=_________,…等边三角形的性质
在△BAE和△ACD中,
∴△BAE≌△ACD. …………全等三角形的判定方法
60°
(2)∵△BAE≌△ACD,
∴∠ABE=∠CAD, 全等三角形的性质
∵∠BPQ为__________的外角,
∴∠BPQ=__________+__________,………外角的性质
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.…………等量代换
△ABP
∠ABE ∠BAD
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=_________. ………直角三角形两锐角互余 30°
【学霸提醒】
等边三角形的每一个内角都等于60°;等腰三角形的两
个底角相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数,
与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的.
【题组训练】
1.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等
边三角形,AB,ED相交于点F,下列结论:①AD⊥BC;②
EF=FD;③BE=BD.其中正确的有___________.(填序号) ①②③
★2.如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延
长线上一点,连接BE,DE.若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED
的度数.
解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,∵∠ABE=40°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°.
∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°,
∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.
★3.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为
边作等边△CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE,判断
AE与BC的位置关系,并说明理由. 世纪金榜导学号
解:AE∥BC,理由如下:
∵△ABC和△DEC是等边三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°,
∠B=60°,
∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA,
即∠BCD=∠ACE,
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠EAC=∠B=60°,
∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
【火眼金睛】
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,试求顶
角的度数.
正解:当高在内部时,顶角为90°
-30°=60°;
当高在外部时,得到顶角的外角
为90°-30°=60°,则顶角为120°.
则该等腰三角形顶角的度数是60°或120°.
【一题多变】
如图1,在等腰△ABC中.AB=AC=a,面积是S,
点P在BC上移动,过点P作PD⊥AB于点D,PE
⊥AC于点E,那么点P到两腰的距离和PD+PE等于什么?证
明你的结论.
解:PD+PE= ,证明如下:连接AP,
∵S△ABC=S△ABP+S△CAP,
∴S△ABC= ,
∵AB=AC=a,S△ABC=S,
∴S= ,∴PD+PE= .
【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图2,在等边
△ABC中,边长是a,面积是S,点P是△ABC
内部一点,P到三边的距离之和PD+PE+PF
又等于什么?证明你的结论.
解:PD+PE+PF= .
证明如下:连接AP,BP,CP,
∵S△ABC=S△ABP+S△CAP+S△CBP,
∴S△ABC=
∵AB=AC=BC=a,S△ABC=S,
∴S= ,∴PD+PE+PF= .
【变式二】(变换条件和问法)如图3,点
P是等边△ABC内部一点,作PD⊥AB,PE⊥
BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F,若PD=1,
PE=2,PF=4.求△ABC的边长.
略
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