资料简介
1 认识三角形
第3课时
【知识再现】
1.中点:把一条线段分为两条_________的线段的点.
2.角平分线:从一个角的顶点引出一条_________,把这
个角分成两个完全相同的角.
3.三角形面积=____________.
相等
射线
【新知预习】阅读教材P87-P91,解决下列问题:
做一做
AD⊥BC,垂足为D,则线段_______是
△ABC的_______边上的高,_______是
_______边上的高,_______是_______
边上的高
AD
BC BE
AC CF AB
若∠α=∠β,则_________AD是△ABC
的角平分线
若AD=BD,BE=CE,AF=CF,则线段
_______,_______,_______是三角形
的________,点G是三角形的________
线段
AE BF CD
中线 重心
总结:三角形的三种重要线段的概念及特征
(1)角平分线
①概念:在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边
相交,该角顶点与交点之间的_________;
②特征:三角形的三条角平分线交于_________.
线段
一点
(2)中线
①概念:连接三角形一个顶点与它对边_________的线
段;
②特征:三角形的三条中线交于_________.
中点
一点
(3)高
①概念:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作
垂线,顶点和_________之间的线段叫做三角形的
_________,简称三角形的_______;
②特征:三角形的三条高所在的直线相交于_________.
垂足
高线 高
一点
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,AD是△ABC的中线,那么下列结论中错误的是( )
A.AD平分∠BAC
B.BD=DC
C.AD平分BC
D.BC=2DC
A
2.(2019·江宁区月考)三角形的高线、中线、角平分
线都是 ( )
A.射线 B.线段
C.直线 D.点
B
3.在△ABC中,画出边AC上的高,画法正确的是 ( )C
知识点一 三角形的中线(P87“议一议”)
【典例1】如图,AD是△ABC的中线,点E是AD的中点,连
接BE,CE,若△ABC的面积是8,求阴影部分的面积.
【尝试解答】因为AD是△ABC的中线,
所以S△ABD=_________= _________,
………………中线的性质
S△ACD S△ABC
因为点E是AD的中点,所以S△ABE=S△BDE=
_________,S△CDE=S△CAE= _________,
………………中线的性质
因为S△ABE= S△ABC,S△CDE= S△ABC,
………………等量代换
S△ABD S△ACD
所以S△ABE+S△CDE= S△ABC= ×8=4,
………………等式性质
所以阴影部分的面积为4.
【题组训练】
1.如图,在△ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一
条线段是△ABC的中线,则该线段是 ( )
A.线段DE B.线段BE
C.线段EF D.线段FG
B
★2.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,且△ABD
的周长为11,则△BCD的周长是 ( )
A.9 B.14
C.16 D.不能确定
A
★★3.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别是BC,AD,CE
的中点,且△ABC的面积为16,则△BEF的面积是 世纪
金榜导学号( )
A.2 B.4
C.6 D.8
B
【我要做学霸】
利用三角形中线解题:
①求周长差,中线_________三角形的对边,求周长差的
关键是转化为求_____________;
②求面积,“等底同高”模型得面积相等的三角形.
平分
两边之差
知识点二 三角形的角平分线(P88“做一做”)
【典例2】如图,D是△ABC中BC上的一点,DE∥AC交AB
于点E,DF∥AB交AC于点F,且∠ADE=∠ADF,AD是△ABC
的角平分线吗?说明理由.
【自主解答】AD是△ABC的角平分线.
理由:因为DE∥AC,DF∥AB,
所以∠ADE=∠DAF,∠ADF=∠EAD,
又因为∠ADE=∠ADF,所以∠DAF=∠EAD,又因为
∠DAF+∠EAD=∠BAC,
所以AD是∠BAC的平分线.
【题组训练】
1.如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.
若∠A=52°,则∠1+∠2的度数为_________. 64°
★2.如图,在△ABC中,∠BAD=∠DAE=∠EAF=∠FAC,则
________是△ABC的角平分线. ( )
A.AD B.AE
C.AF D.AC
B
★★3.如图,△ABC中,BD是角平分线,点E,F,G分别在
边AB,BC,AC上,连接DE,GF,且满足GF∥BD,∠1=∠2,若
∠AED=70°,求∠2的度数.
解:因为FG∥BD,所以∠2=∠DBC,
因为∠1=∠2,所以∠1=∠DBC,
所以DE∥BC,所以∠AED=∠ABC=70°,
因为BD平分∠ABC,
所以∠2=∠DBC= ∠ABC=35°.
知识点三 三角形的高线(P89“做一做”)
【典例3】如图,在△ABC中,BC=4,AC=5,若BC边上的高
AD=4.
求:(1)△ABC的面积及AC边上
的高BE的长.
(2) 的值.
【自主解答】(1)S△ABC= BC·AD= ×4×4=8.
因为SΔABC= AC·BE= ×5·BE=8,
所以BE= .
(2)
【学霸提醒】
三角形的三种面积表达方式:
S△ABC= BC·AD;
S△ABC= AC·BE;
S△ABC= AB·CF.
【题组训练】
1.(2019·海州区期中)如图,△ABC中的边BC上的高
是 ( )
A.AF B.DB
C.CF D.BE
A
★2.如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是
∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则
∠EAD+∠ACD= ( )
A.75° B.80°
C.85° D.90°
A
★★3.如图,在△ABC中,∠ACB=60°,∠BAC=75°,AD⊥
BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于H,则∠CHD=_________.
世纪金榜导学号
45°
【火眼金睛】
已知AD是△ABC的高,∠DAB=45°,∠DAC=34°,则
∠BAC=________.
【正解】
当AD在△ABC内部时,∠BAC=79°;当AD在△ABC外部时,
如图,
所以∠BAC=45°-34°=11°.
答案:79°或11°
【一题多变】
如图,△ABC中,∠A=50°,若点P是∠ABC与∠ACB平分
线的交点,求∠P的度数.
解:因为∠A=50°,
所以∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°,
因为点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点,
所以∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB,
所以∠PBC+∠PCB= ×(∠ABC+∠ACB)=
×130°=65°,
所以∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=115°.
【母题变式】
【变式一】(改变条件)如图,△ABC中,∠A=50°,若
点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点,求∠P的度数.
解:因为∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°,
所以∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°,
因为点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点,
所以∠PBC+∠PCB= (∠CBD+∠BCE)=115°,所以
∠P=180°-115°=65°.
【变式二】
(改变条件)如图,△ABC中,∠A=50°,若点P是∠ABC与
∠ACF平分线的交点,求∠P的度数.
解:略
【变式三】(改变条件)若∠A=β,求(1)(2)(3)中∠P
的度数(用含β的代数式表示,直接写出结果).
解:若∠A=β,在(1)中,∠P=180°- (180°-β)
=90°+ β;
在(2)中,同理得:∠P=90°- β;
在(3)中同理得:∠P= ∠A= β.
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