资料简介
1、通过对球的体积和面积公式的推导，
了解推导过程中所用的基本数学思想方法：
“分割—求和—化为准确和”；
2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实
际问题；
3、能解决球的截面有关计算问题及球的 “
内接”与“外切”的几何体问题。
RR
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上
底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所
得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体
积相等。
一、球的体积:
RR
R
设想一个球由许多顶点
在球心,底面在球面
上的“准锥体”
组成,这些准锥体
的底面并不是真
的多边形,但只要
其底面足够小,就
可以把它们看成
真正的锥体.
二、球的表面积:
R
S球表=4πR2
例1:钢球直径是5cm,求它的体积.
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径
是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
由计算器算得:
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径
是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各
个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
A B
CD
D1 C1
B1A1
O
分析：正方体内接于球，则由球和正方
体都是中心对称图形可知，它们中心重
合，则正方体对角线与球的直径相等。
A B
CD
D1 C1
B1A1
O
例题讲解
变式训练1:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体
积为16,则这个球的表面积为( )
A.16π B.20π
C.24π D.32π
(提示:底面是正方形,侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱)
解析:该四棱柱的底面积为4,从而底面边长为2,其外接球的直
径为该四棱柱的体对角线.
∴R ∴S=4πR2=24π
答案:C
训练:(2008·四川高考)一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱
垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱
的高为 底面周长为3,那么这个球的体积为
________.
解析:依题意知,正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1,
又高为 所以球的直径为2,故球的体积为
如下图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激
凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?
课堂练习二
解:由图可知,半球的半径为4 cm,
圆锥的高为12 cm.
∴V半球
V圆锥 π·42·12=64π cm3,
∴冰激凌化了,不会溢出杯子.
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸
盒中,至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
侧棱长为5cm
两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个
几何体的各面相切.
球内切于正方体
(变式3)把正方体的纸盒装入半径为4cm
的球状木盒里,能否装得下?
半径为4cm的木盒能装下的最大正方体
与球盒有什么位置关系?
球外接于正方体
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在
另一个几何体的表面上。
例4:有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方
体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个
球的表面积之比.
分析:作出截面图,分别求出三个球的半径.
解:设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过
四个切点及球心作截面如右图,所以有2r1=a,r1
所以
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方
体的对角面得截面,如下图.
所以S2=4πr2
2=2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作
正方体的对角面得截面,如下图所示,所以有
所以S3=4πr2
3=3πa2.
综上可得S1:S2:S3=1:2:3.
思考:体积之比又是多少呢?
8
2.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正
方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个
球的体积之比_________.
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.
练习1:
探究：若正方体的棱长为a，则：
(1)正方体的内切球的直径=
(2)正方体的外接球的直径=
(3)与正方体所有的棱相切的球的直径=
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是
______.
练习2:
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来
的___倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来
的___倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是___.
7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，
那么这个大铅球的表面积是______.
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为
12π ,则两球的直径之差为______.
练习2:
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，
则它的外接球的表面积为_____.
3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2 cm,则球的表
面积是( )
A.8π cm2B.12 πcm2
C.16 πcm2D.20 π cm2
解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线,∴球的半径为
∴球的表面积S=4π .
答案:B
4.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是其它两
个球的体积和的( )
A.1倍B.2倍
C.3倍D.4倍
解析:记三个球的半径分别为1,2,3,则大球的体积V3=
π×33=36π,两个小球的体积和V1+V2= π(13+23)=12π.∴最
大球的体积是其它两个球的体积和的3倍.
答案:C
易错探究
例4:(2010·广州模拟)已知某个几何体的三视图如图(主视图
中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几
何体的体积是________cm3.
例2:如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，
试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.
(精确到0.01cm)
8 6
6
18
5
15
15
11
11
x/
y/
z/
解：这个奖杯的体积为
V=V正四棱台+V长方体+ V球
V正四棱台
V长方体=6×8×18=864
V球=
所以这个奖杯的体积为
V ≈ 1828.76(cm3)
O
A
B
C
例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距
离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的
体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，
截面⊙O′的半径为r，
例题讲解
O
A
B
C
例题讲解
能力提升
例.球面上有四个点P､A､B､C,如果PA､PB､PC两两互相垂直,
且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.
解:要求球的表面积,只要求出球的半径R.分析题设条件可知
把P看作是球内接正方体的一个顶点,把三棱锥P-ABC补成一
个球内接正方体,其棱长为a.
1.球的表面积公式；
2.球的体积公式.
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