资料简介
第三章 变量之间的关系
1 用表格表示的变量间关系
【知识再现】
我们生活在一个变化的世界中,如骆驼体温的变化、
潮汐的变化、记忆遗忘的规律、人口变化的规律等,
从数学的角度研究_____________,讨论它们的关系,即
变量之间的关系.
变化的量
【新知预习】阅读教材P62-P63,归纳结论:
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x,y,其
中y随x的变化而变化,那么称______是自变量,______是
因变量.
x y
2.生活中太阳能热水器已进入千家万户,你知道吗,在
利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水
温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是( )
A.水的温度 B.太阳光强弱
C.所晒时间 D.热水器
A
知识点一 变量与常量,自变量与因变量
(P62“议一议”拓展)
【典例1】某品牌电饭锅成本价为70元,销售商对其销
量与定价的关系进行了调查,结果如下:
定价(元) 100 110 120 130 140 150
销量(个) 80 100 110 100 80 60
在这个问题中,下列说法正确的是 ( )
A.定价是常量,销量是变量
B.定价是变量,销量是常量
C.定价与销量都是变量,定价是自变量,销量是因变量
D.定价与销量都是变量,销量是自变量,定价是因变量
C
【学霸提醒】
自变量和因变量的区别
1.看变化的先后顺序:自变量是先发生变化的量,因变
量是后发生变化的量.
2.看变化的方式:自变量是一个主动变化的量,因变量
是一个被动变化的量.
3.看因果关系:自变量是因,因变量是果.
【题组训练】
1.将一个底面直径是10 cm,高为36 cm的圆柱体锻压
成底面直径为20 cm的圆柱体,在这个过程中不改变的
是 ( )
A.圆柱的高 B.圆柱的侧面积
C.圆柱的体积 D.圆柱的底面积
C
★2.当前,雾霾严重,治理雾霾方法之一是将已产生的
PM2.5吸纳降解,研究表明:雾霾的程度随城市中心区
立体绿化面积的增大而减小,在这个问题中,自变量是
( )
A.雾霾程度 B.PM2.5
C.雾霾 D.城市中心区立体绿化面积
D
★★3.在△ABC中,它的底边是a,底边上的高是h,则三
角形面积S= ah,当a为定长时,在此式中( )
A.S,h是变量, ,a是常量
B.S,h,a是变量, 是常量
C.S,h是变量, ,S是常量
D.S是变量, ,a,h是常量
A
知识点二 用表格表示的变量间关系
(P62“议一议”拓展)
【典例2】在烧开水时,水温达到100 ℃就会沸腾,下
表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据:
时间
(分) 0 2 4 6 8 10 12 14 …
温度
(℃) 30 44 58 72 86 100 100 100 …
(1)上表反映了哪两个量之间的关系?哪个是自变量?
哪个是因变量?
(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的?
(3)时间推移2分钟,水的温度如何变化?
(4)时间为8分钟,水的温度为多少?你能得出时间为9
分钟时,水的温度吗?
(5)根据表格,你认为时间为16分钟和18分钟时水的温
度分别为多少?
(6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水?
【自主解答】(1)上表反映了水的温度与时间的关系,
时间是自变量,水的温度是因变量;
(2)水的温度随着时间的增加而增加,到100 ℃时恒定
;
(3)时间推移2分钟,水的温度增加14 ℃,到10分钟时
恒定;
(4)时间为8分钟,水的温度是86 ℃,时间为9分钟,水
的温度是93 ℃;
(5)根据表格,时间为16分钟和18分钟时水的温度均为
100 ℃;
(6)为了节约能源,应在10分钟后停止烧水.
【学霸提醒】
用表格表示变量之间关系的“三个一”
一个优点:根据表格中已列出的自变量的值,可以
直接查到与其对应的因变量的值,使用起来比较方便.
一个不足:表格中所列出的对应值一般都是有限
的,由表格不容易看出两个变量之间的对应规律,不能
直观、形象地反映变量之间的变化趋势.
一个注意:用表格表示变量之间关系时,要先表示
自变量,再表示因变量,在表示自变量和因变量时,第
一列要写单位名称.
【题组训练】
1.(生活情境题)赵先生手中有一张记录他从出生到24
周岁期间的身高情况表(如下):
年龄
x/周
岁
0 3 6 9 12 15 18 21 24
身高
h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4
下列说法中错误的是 ( )
A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢
B.赵先生的身高在21周岁以后基本不长了
C.赵先生的身高从0周岁到12周岁平均每年增高12.5 cm
D.赵先生的身高从0周岁到24周岁平均每年增高5.1 cm
C
★2.某公交车每月的支出费用为4 000元,每月的乘车
人数x(人)与每月利润(利润=收入费用-支出费用)y
(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是
固定不变的): 世纪金榜导学号
x(人
) 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y(元
) -3 000 -2 000 -1 000 0 1 000 2 000 …
(1)在这个变化过程中,________是自变量,________
是因变量;
(2)观察表中数据可知,每月乘客量达到________人以
上时,该公交车才不会亏损;
(3)请你估计当每月乘车人数为3 500人时,每月利润
为多少元?
(4)若5月份想获得利润5 000元,则请你估计5月份的
乘客量需达________人.
解:(1)在这个变化过程中,每月的乘车人数x是自变量,
每月的利润y是因变量;
答案:每月的乘车人数x 每月的利润y
(2)观察表中数据可知,每月乘客量达到2 000人及以
上时,该公交车才不会亏损;
答案:2 000
(3)由表中数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每
月的利润可增加1 000元,
当每月的乘车人数为2 000人时,每月利润为0元,则当
每月乘车人数为3 500人时,每月利润为3 000元;
(4)由表中数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每
月的利润可增加1 000元,
当每月的乘车人数为2 000人时,每月利润为0元,则当
每月利润为5 000元时,每月乘车人数为4 500人.
答案:4 500
★★3.研究发现,地表以下岩层的温度与它所处的深
度有表中的关系:
岩层的深
度h/km 1 2 3 4 5 6 …
岩层的温度
t/℃ 55 90 125 160 195 230 …
根据以上信息,回答下列问题:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量
?哪个是因变量?
(2)岩层的深度h每增加1 km,温度t是怎样变化的?
解:略
【火眼金睛】
弹簧挂上物体后会伸长,在一次实验中,测得一弹簧长
度y(cm)与所挂物体质量x(kg)的一组对应值
所挂物体的质量
x(kg) 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y(cm) 18 20 22 24 26 28
(1)当所挂物体质量为3 kg时,弹簧多长?
(2)当所挂物体质量为6 kg(在允许范围内)时,弹簧多
长?
【正解】(2)由表格数据知,在弹性限度内,所挂物体
每增重1 kg,弹簧伸长2 cm,
所以当x=6时,y=30(cm)
即当所挂物体质量为6 kg时,弹簧长为30 cm.
【一题多变】
父亲告诉小明:“距离地面越高,气温越低”.并给
小明出示了下面的表格:
距离地面高度/km 0 1 2 3 4 5
气温/℃ 20 14 8 2 -4 -10
根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,你和小明
一起回答:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量
?哪个是因变量?
(2)你知道距离地面6 km高空的气温是多少吗?
解:(1)反映了距离地面高度与气温之间的关系;
距离地面高度是自变量,气温是因变量;
(2)观察表格,可得距离地面高度每上升1 km,气温下
降6 ℃,
当距离地面5 km时,气温为-10 ℃,
故当距离地面6 km时,气温为-16 ℃.
【母题变式】
下表给出了橘农王林去年橘子的销售额(元)随橘子卖
出量(千克)的变化的有关数据:
卖出量(千克) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
销售额(元) 2 4 6 8 10 12 14 16 18
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量
?哪个是因变量?
(2)当橘子卖出5千克时,销售额是多少?
(3)估计当橘子卖出50千克时,销售额是多少?
解:(1)表中反映了橘子的卖出量与销售额之间的关系,
橘子的卖出量是自变量,销售额是因变量.
(2)当橘子卖出5千克时,销售额为10元.
(3)当橘子卖出50千克时,销售额为100元.
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