资料简介
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
点到圆心的距离为d，圆的半径为r，
则：
点在圆外 d>r;
点在圆上 d=r；
点在圆内 d r
rd
∟
rd
∟
r
d
二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线l 的距离d 与圆
的半径r 的关系来区分）
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线
(直线a)经历了哪些位置关系的变化？
a(地平线)
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d：
3)若d=8cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 ,直线与圆有____个公共点.
3)若AB和⊙O相交,则 .
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据
条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
相交
相切
相离
d > 5cm
d = 5cm
0cm ≤d < 5cm 2 1 0
例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以
C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什
么？
(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm． B
C A
4
3
分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要
知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已
知r，只需求出点C到AB的距离d即可。 Dd
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB= 5
根据三角形的面积公式有
∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以 (1)当r=2cm时,有d>r, 因此⊙C和AB相离。
B
C A
4
3
Dd
（2）当r=2.4cm时, 有d=r,
因此⊙C和AB相切。
（3）当r=3cm时，有d
相离相切相交
情境引入情境引入
动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作
直线l⊥OA .
思考：（可与同伴交流）
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？
（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？
直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直
这条半径的直线是圆的切线。如图所示，半径OA⊥
直线l，直线l为⊙O的切线．
特征①：直线L经过半径OA的外端点A.
特征②：直线L垂直于半径OA.
d = r 相切
感悟新知感悟新知
圆的切线的判定方法：
(1)概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的
切线；
(3)判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线．
总结归纳总结归纳
例1 已知:如图， A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，
点B在圆上，且AB=BC,∠A= 30°.求证:直线AB是⊙O的
切线.
连结OB.
∵OB=OC, AB=BC,∠A=30°，
∴∠OBC=∠C=∠A=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.
∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A) =180°- (60°+30°)=90°，
∴AB⊥OB，
∴AB为⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线).
证明：
∵OA=OB=5，AB=8，
∴AC=BC=4.
∴在Rt△AOC中，OC=3.
又∵⊙O的直径长为6，
∴OC=半径r，
∴直线AB是⊙O的切线.
证明：过点O作OC⊥AB.
C
无交点，作垂直，证d=r
如图，已知OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6.
求证：AB与⊙O相切.
B
Ｏ
A
有交点，连半径，证垂直
练习练习
实际应用
例2 如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移
动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市
A（200，380），B（600，480），C（550，300），
D（370，540）中，哪些受到这次台风影响，哪些不受
到这次台风影响？
合作学习合作学习
AO
T ① OA与AT垂直吗？问：
已知直线AT切⊙O于点A（切点）,连结OA，则OA是半径.
经过切点的半径垂直于圆的切线
②过点A作AT的垂线，垂线过点O
吗？
问：
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
圆的切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线．
拓展：
(1)切线和圆只有一个公共点．
(2)圆心到切线的距离等于半径．
(3)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点．
(4)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．
总结归纳总结归纳
（判定垂直）
（判定半径或直径）
例3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.
如图, 用角尺的较短边紧靠⊙O于点A, 并使较长边与⊙O相切
于点C, 记角尺的直角顶点为B, 量得AB=8cm, BC=16cm. 求⊙O
的半径.
连结过切点的半径是
常用的辅助线
O
A
B C
D
解：连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于点D.
∵AB⊥BC,AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB.
在Rt△ADO中,
即 解得r=20.
∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC.
答: ⊙O的半径为20cm.
例4 已知:如图,直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D. 连
结CD,OC.求证：∠ACD = ∠COD.
如图,作OE丄CD于点E，
则∠COE+ ∠OCE=90°.
∵ ⊙O与AB相切于点C，
∴OC丄AB (经过切点的半径垂直于圆的切线），
即∠ACD+ ∠OCE=90°.
∴∠ACD=∠COE.
∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD,
∴ ∠COE= ∠COD ∴∠ACD= ∠COD.
证明：
1.切线的判定定理。
2.判定一条直线是圆的切线的方法。
（1）定义：直线和圆有唯一的公共点。
（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径。
（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直
线是圆的切线。
3.辅助线作法：
（1）有公共点：作半径证垂直。
（2）无公共点：作垂直证半径。
课堂小结课堂小结
4. 切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线；
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
5. 切线性质的应用：
常用的辅助线是连接半径；
综合性较强，要联系许多其它图形的性质．
1. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝ AC＝4，
点O为BC的中点，以点O为圆心作半圆O交BC于点M，
N，半圆O与AB，AC相切，切点分别为 D，E，则半圆
O的半径和∠MND的度数分别为( )
A．2；22.5°
B．3；30°
C．3；22.5°
D．2；30°
课堂测试课堂测试
2. 如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、
CD及BC的延长线于点E、F、G， ⊙O 是△CGF的外接圆；
求证：CE是⊙O的切线。
3. 如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D，E,
连结CD，CE.找出图中的一对相似三角形，并说明理由。
C BA
O
D
E
若已知AC=4cm，⊙O的半径为3cm，能否求出图中其
它线段的长度？
F
50°
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
2、这样的切线能画出几条
？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是
⊙O的切线。
3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数
130°
画一画画一画
O
A
B
P
思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则
∠OAP= °,连接OP，可知A、B 除了在⊙O上，还
在怎样的圆上?
90
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
尺规作图：过⊙O外一点作⊙O的切线.
O · P
A
B
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线
段的长叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢
？
· ·
切线和切线长是两个不同的概念：
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆
外一点和切点，可以测量。
O P
A
B
O
A
B
P
思考:已知⊙O切线PA、PB，A、B为切
点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?
1
2
请证明你所发现的结论。
A
PO
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵ PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°.
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB.
试用文字语言
叙述你所发现
的结论
PA、PB分别切⊙O于点A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的
两条切线，它们的
切线长相等，圆心
和这一点的连线平
分两条切线的夹角。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了
新的方法
O P
A
B
A
PO
B
若连结两切点A、B，AB交
OP于点M.你又能得出什么
新的结论?请给出证明.
OP垂直平分AB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,A，B是切点，
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB，
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
M
A
PO
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新
的结论?请给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB，
∴PC=PC，
∴ △PCA ≌ △PCB，∴AC=BC.
C
。 P
B
A
O
（3）连结圆心和圆外一点.
（2）连结两切点；
（1）分别连结圆心和切点；
反思：在解决有关圆的切
线长问题时，往往需要我
们构建基本图形。
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=
P
A
BC
O
60°.
（4）OP交⊙O于点M,则 ，ＡＢ ＯＰ.ＡＭ＝ＢＭ
M
⊥
牛刀小试
（3）若∠P=70°，则∠AOB= °.
110
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA. OA=3.
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
Q为AB上一点，过点Q作⊙O的切线，交PA、PB于点E、
F，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
E
A
Q
P
F B
O
易证EQ=EA,
FQ=FB,PA=PB
∴PE+EQ=PA=12（cm）
PF+FQ=PB=PA=12（cm
）∴△PEF的周长为24cm·
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线
OP交于⊙O于点D、E，交AB于点C。 A
（1）写出图中所有的垂直关系 P D C O E
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角 B
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
·
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B
为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
P
AC
B
DO
例题讲例题讲
解解
1.（口答）如图,PA、PB分别切圆O于点A、B，并与
圆O的切线分别相交于点C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数.
C
· O
P
B
D
A
E
例2 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：
AD+BC=AB+CD.
D
L
M
N
A B
C
O
P
证明：由切线长定理，得
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
DN=DP，
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
例3.如图，△ABC中,∠C =90º ,它
的内切圆O分别与边AB、BC、
CA相切于点D、E、F，且
BD=12,AD=8，求⊙O的半径r.
O
EB
D
C
A
F
练习2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC
是切线，A、E、B为切点.
(1)求证：OD ⊥ OC.
(2)若BC=9，AD=4，求OB的长.
OA B
C
D
E
·
O
A B
C
D
E
F
OA B
C
D
E
选做题：如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是
切线，A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE
的长.
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线
长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
A
P
O。
B
E C D
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
，∴PA=PB ,∠OPA=∠OPB，
OP垂直平分AB.
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂
直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
2.我们学过的切线，常有 性质：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
(6)从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
六个
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