资料简介
第24章 圆
24.3 圆周角
第1课时
复习引课
1.圆心角的定义?
.O
B C
答：在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有
其中的一组量相等，那么它们所对应的其余两个量
都分别相等。
答:顶点在圆心的角叫圆心角。
2.上节课我们学习了一个反映圆心
角、弧、弦三个量之间关系的一个
结论，这个结论是什么？
A
B C
一个三角形，当它内接于一个圆时，
它的任一个角都与圆有着特殊的位置
关系.如图，∆ABC内接于⊙O，这时
∠A的定点在圆上，∠A的两边AB,AC
分别与圆还有另一个公共点.
像这样，定点在圆上，并且两边都与圆还有另一
个公共点的角叫做圆周角.
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.
〉 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系
？为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角
之间的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
圆周角和圆心角的关系
教师提示:注意圆心角与圆周角的位置关系.
（1） 折痕是圆周角的一条边，
（2） 折痕在圆周角的内部，
（3） 折痕在圆周角的外部．
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有
什么关系?
说说你的想法,并与同伴交流.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
我们得到以下几种情况.
①∠①∠ABCABC的一边的一边BCBC经过圆心圆心OO。。
②∠ABC的两边都不经过圆心O。
③∠ABC的两边都不经过圆心O。
BB
AA
OO
CC
①①
AA
BB
CC
OO
②②
BB
AA CC
OO
③③
请问∠ABC与∠AOC它们
的大小有什么关系？说说
你的想法，并与同伴进行
交流。
下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即
∠ABC的一边BC经过圆心O.
B
A
O
C∵ ∠AOC是△ABO的外角，
∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO.
∵ OA=OB，
∴ ∠ABO=∠BAO.
∴ ∠AOC=2∠ABO，
∴ ∠ABC= ∠AOC.
1
-
2
那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与
∠AOC又有怎样的大小关系呢？
A
B
C
O
B
A
C
O
我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来
考虑.
也就是借用直径，连接也就是借用直径，连接BOBO并延长，与圆相交于点并延长，与圆相交于点D.D.
（此时我们得到与图①同样的情形）
AA
BB
CC
OO
DD
11
33
22
BB
AA
OO
CC
①①
55
44
∵ ∠1是△ABO的外角，
∴ ∠1=∠2+∠3.
∵ OA=OB ，
∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=2∠2 .
B
A C
O
B
A
O
C
①
如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得
到与图①同样的情形）
D
∵ ∠AOD是△ABO的外角,
∴ ∠AOD=∠A+∠ABO.
∵ OA=OB ,
∴ ∠A=∠ABO.
∴ ∠AOD=2∠ABD ,
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图
①同样的情形）
BB
AA CC
OO
BB
AA
OO
CC
①①
DD
∵ ∠AOD是△ABO的外角,
∴ ∠ABD=∠A+∠ABO.
∵ OA=OB ,
∴ ∠A=∠ABO.
∴ ∠AOD=2∠ABD ,
B
A C
O
B
A
O
C
①
如图，连接BO并延长，与圆O相交于点D。（此时我们得
到与图①同样的情形）
D∵ ∠AOD是△ABO的外角,
∴ ∠ABD=∠A+∠ABO.
∵ OA=OB ,
∴ ∠A=∠ABO.
∴ ∠AOD=2∠ABD ,
通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你
会得到什么结果？
B
A
O
C
A
B
C
O
B
A C
O
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。一半
由定理可得
推论 1 在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，相等的圆周角所对的弧也相等（图 24-36）.
推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周
角所对的弦是直径（图 24-37）.
例1 如图24-38，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，
∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度数.
解：连接BC，则∠ACB=90°,
∠DCB=∠ACB-∠ACD=30°.
∴ ∠APC =∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°.
分析：∠APC等于圆周角∠BAD与∠ADC之和.
又 ∵ ∠BAD=∠DCB=30°，
A
O
C
B
1.如图，在⊙O中，∠BOC=50°，
则∠BAC= 。25°
变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC=
。
A
B C
O
变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上
的三点， ∠BAC=40°，则∠BOC=
。
50°
80°
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC
，∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
A B
C
O
解：∠ACB=2∠BAC.理由:
∵ ∠AOB=2∠ACB,
∠BOC=2∠BAC,
∠AOB=2∠BOC,
∴ 2∠ACB =2（2∠BAC）.
∴∠ACB=2∠BAC.
到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各
有什么特点?相互之间有什么关系?
答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在
圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一
条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
第2课时
复习巩固
A
B C
O1.如图，∠BOC是 角，∠BAC是
角.若∠BOC=80°，∠BAC= .
圆心 圆周
40°
2.如图，点A，B，C都 在⊙O上，若
∠ABO=65° ，则∠BCA=（
）
A. 25° B.32.5°
C. 30° D.45°
A B
C
OA
1.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC 为⊙O的直径，
请问∠BAD与∠BCD 之间有什么关系？为什么？
A
B
C
O
D解：∠BAD 与∠BCD 互补。
∵AC 为直径，
∴∠ABC=90°,∠ADC=90°。
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°。
∴∠BAD与∠BCD互补。
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边
形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外
接圆. 如图24-39，四边形ABCD内接于⊙O，这时，它的
每一个角都成为圆周角.利用圆周角定理，我们来研究
圆内接四边形的角之间的关系.
A
B C
O
D
E
图 24-39
定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它
的内对角.
例 在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比
是2:3:6，求这个四边形各角的度数.
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别等于2x°,3x°,6x°.
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∵ 2x+6x=180°，
∴ x=22.5°.
∴ ∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=180°-
67.5°=112.5°.
在圆内接四边形ABCD 中，∠A 与∠C 的度数之
比为4:5，求∠C 的度数.
解:∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补）.
∵∠A:∠C=4:5，
∴ .
即∠C 的度数为100°.
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A 和∠C 的度数.
A
B
CO
D
解：∵ ∠BOD =80°，
∴ .
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心
角的度数的一半）.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD=180°.
∴∠BCD=180°-40°=140°（圆内接四边
形的对角互补）.
2.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，
∠ ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
A B
C
O
解：∠ACB=2∠BAC.理由:
∵ ∠AOB=2∠ACB,
∠BOC=2∠BAC,
∠AOB=2∠BOC,
∴ 2∠ACB =2（2∠BAC）,
∴∠ACB=2∠BAC.
1.要理解圆周角定理的推论.
2.构造直径所对的圆周角是解答圆中问题的常用方法.
3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所
对的圆周角也是常用方法之一.
4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等
圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的
角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转
化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁，如由弦相
等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记