资料简介
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第 1 课时
如图24-14，在平面内线段OP绕着
它固定的一个端点O旋转一周，则另
一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆.
圆的概念:
rO P 固定的端点O叫做圆心，线段OP的长
为r叫做半径.
以点O为圆心的圆，记作"⊙O"，
读作“圆”.
图 24-14
从图24-14画图的过程中，你能说出圆上的点有什么特性吗？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）平面内到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）的
所有点都在同一个圆上.
因此，圆可以看成平面内到定点（圆心O）的距离等于
定长（半径r）的所有点组成的图形.
思考:
注意: (1)圆是一条封闭曲线(而不是一个圆面)；
(2)圆是由圆心和半径确定的,圆心确定圆的位置,半径
确定圆的大小).
交流：
平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外，
与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？
点与圆的位置关系
符号 读作等价于.它表示从符号的
左边可以推出右边；同时从符号的右
边也可以推出左边.
（2）若点A在⊙O 内
（3）若点A在⊙O外
（1）若点A在⊙O上
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号
⌒表示.以A,B为端点的弧记作AB，读作弧AB.
与圆有关的概念
连接圆上的任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫
做直径.
注意：同圆中所有半径都相等
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都
叫做半圆.大于半圆的弧一叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣
弧,
与圆有关的概念
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等.
在同圆或者等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
证明: 连接AC,DB.
例题分析：
例1 已知：如图24-17，AB,CD为⊙O的直径.
求证：AD//CB.
图 24-17
∵ AB,CD为⊙O的直径
∴ OA=OB， OC=OD
∴ 四边形ABCD为平行四边形.
∴ AD//CB
1.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.
2.选择题
（1）下列说法，正确的是（ ）。
①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心的弦是直径；
④经过圆上一点有无数条直径。
A、①② B、②③
C、②④ D、③④
答案：B
（2）如图，在⊙O中，点A、O、
D以及点B、O、C分别在一条直
线上，图中弦的条数为（ ）。
A、2 B、3
C、4 D、5
答案：B
1.从树木的年轮，可以很清楚的看出树生长的年龄。如
果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树
的半径平均每年增加多少？
23÷20=1.15
1.15÷2=0.575
定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O
旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形
叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半
径。
从运动和集合的观点理解圆的定义：
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
第2课时
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所
对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，
你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
我们知道，等腰三角形，平行四边形，矩形，菱形，
正方形等图形都具有对称性.那么圆是否具有对称性呢？根
据它的对称性又能推出圆的哪些性质呢？
1.在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把
⊙O折叠，如图24-18，你发现了什么？
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过
圆心的直线.
垂径分弦
A（B
） D
C
图 24-18
A B
D
C
O
E
图 24-19
2. 在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合
的点A,B,如图 24-18.把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直
径，点A,B是关于直线CD的一对对应点.连接AB，得弦AB
，如图24-19，这时直径CD与弦AB有怎么的位置关系？
图 24-18
A（B
）
D
C
3. 直径CD把劣弧 分成 与 两部分，把优弧
分成 与 两部分，这时 与 , 与 各有怎样
的关系？
A B
D
C
O
E
图 24-19
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦对的两条弧.
垂径定理
·O
A B
D
E
图 24-20
C
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
条件 结论
⌒ ⌒
⌒ ⌒
AE=BEAE=BE
AC=BCAC=BC
AD=BDAD=BD
圆心到弦的距离叫弦心距.
例2 如图24-21，⊙O的半径为5cm
中，弦AB的长为6cm，求圆心O到
AB的距离.
平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧．
垂径定理的推论1:
EA B
.
O
图 24-21
例3 赵州桥（图24-22）建于1400年前的隋朝，是我国
石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为
7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
图24-22
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
D
37.4
7.2AB=37.4, CD=7.2
R
18.7
R-7.2
得
8cm
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是 。
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。
A B
O
E
A B
O
E
O
A BE
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为
3cm,则⊙O的半径为 .
·
A B
O
∟
C
5 cm
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓
形所在圆的半径为 .
(1)题 (2)题
128
13 cm
方法归纳:
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。
2.解决有关弦的问题时，经常
（1）连结半径；
（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用
垂径定理创造条件。
请围绕以下两个方面小结本节课：
1、从知识上学习了什么？
２、从方法上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其推论
（１）垂径定理和勾股定理结合.
（２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段；
——连接半径.
第3课时
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里
?
复习引课
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N
O
N'
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N
O
N'
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆
重合。把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，由
此可以看出，点N'仍落在圆上.
圆心角，弧，弦，弦心距间的关系
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
如图， ∠AOB就是一个圆心角，OC就是弦心距.
C
弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.
将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，
你能发现哪些等量关系？为什么？
探究
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到
∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′
重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，
OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
因此，弧AB与弧 A′B′重合，AB与A′B′重合．
⌒AB ⌒A′B′=
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那
么它们所对的圆心角_____， 所对的弦
______；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那
么他们所对的圆心角______，所对的弧
______．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦也相等．
相等
相等
相等
相等
同圆或等圆中，同圆或等圆中，
两个圆心角、两个圆心角、
两条弧、两条两条弧、两条
弦中有一组量弦中有一组量
相等，它们所相等，它们所
对应的其余各对应的其余各
组量也相等组量也相等．．
定理与例题
1°弧
n°
1°
n°弧
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆
心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.
则每一份这样的弧叫做1º的弧.
这样,1º的圆心角对着1º的弧,
1º的弧对着1º的圆心角.
n º的圆心角对着nº的弧,
n º的弧对着nº的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
性质
证明：∵ =
∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形．
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A
B C
O
例4 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°，
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例5 在图中，画出⊙O的两条直径，一次连接这两条直径的
端点，得到一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明理
由.
解：这个四边形是矩形.
理由:如图，AC、BD为⊙O 的两
条直径，则AC=BD，且
AO=BO=CO=DO.
连接AB、BC、CD、DA，则四边
形ABCD为矩形.
A
O
C
DB
如图，AB是⊙O的径， ，
∠COD=35°，求∠AOE的度数．
·A O B
C
DE
解：
⌒BC ⌒CD= = ⌒
DE
⌒BC ⌒CD= = ⌒DE
第4课时
复习引课
〉 类比确定直线的条件:
〉 经过一点可以作无数条直线；
经过两点只能作一条直线.
●
A
●
A
●B
确定圆的条件
〉 思考
1.作圆,使它过已知点A.你能作出
几个这样的圆?
●O
●
A●
O
●O
●
O●O
2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?有何特
点？
●
A
●B
●O
●O
●O
●O
3.经过A,B,C.能不能作圆?
〉 2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直
平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为
圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的分布有什么特点?与线段AB有
什么关系？
●A ●B
●O
●
O
●O
●O
〉 3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上),
你能作出几个这样的圆?
老师提示:
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆的
圆心在线段AB的垂直平分线上.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？
┓
●B ●
C
经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂直
平分线上.
┏
●A
经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条垂直平分
线的交点O的位置.
●O
〉 请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直
线上).
〉 以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可.
请你证明你做得圆符合要求.
●B ●
C
●
A
●O
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
∴⊙O就是所求作的圆,
┓
E
D┏
G
F
∴OA=OB.
同理,OB=OC.
∴OA=OB=OC.
∴点A,B,C在以O为圆心的圆上. 这样的圆可以
作出几个?为什么
?
〉 定理:不在一条直线上的三个点确定一个圆.
〉 在上面的作图过程中.
老师期望:
将这个结论及其证明作为一种模型对待.
∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O
到A,B,C三个点的距离相等,
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并
且只能作一个圆.
●B ●C
●A
●O
┓
E
D
┏
G
F
〉 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,
并说明与它们外心的位置情况
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于
直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
A
B C
●O
A
B CC
A
B
┐
●O ●O
A B C
过如下三点能不能作圆? 为什么?
过什么样的三点能作圆呢? 为什么?
假设过同一直线上三点A、B、C能
作圆则AB的垂直平分线与BC的垂直
平分线交于一点E这与过一点只有一
条直线与已知直线垂直相矛盾，所以
过同一直线上三点能不能作圆.
过如下三点能不能作圆? 为什么
?
A B C
E
不在同一直线上的三点确定一个圆
A
B C
2、 已知△ABC，能用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.
O
A
B
C
解答提示：
1、作AB的垂直平分线EF
；
2、作BC的垂直平分线MN
交EF于O；
3、以O为圆心OA为半径
作圆，则过A、B、C.
如图，AB是⊙O的直径， ，
∠COD=35°，求∠AOE的度数．
·A O B
C
DE 解：
⌒BC ⌒CD= = ⌒
DE
⌒BC ⌒CD= = ⌒
DE
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大
小才唯一确定。
（2）经过一个已知点能作无数个圆。
（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这些圆的
圆心在线段AB的垂直平分线上。
（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（5）外接圆，外心的概念。
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