资料简介
第2章 直线与圆的位置关系
2.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
点到圆心的距离为d，圆的半
径为r，则：
A
B
C 点在圆外 d>r;
点在圆上 d=r；
点在圆内 d r
rd
∟
r
d
∟
r
d
直线和圆相交 d< r 二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线l 的距离d 与 圆的半径r 的关系来区分）
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地
平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化？
a(地平线)
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 , 直线与圆有____个公共点.
3)若AB和⊙O相交,则 .
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据
条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
相交
相切
相离
d > 5cm
d = 5cm
0cm≤d < 5cm 2 1 0
例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为
什么？
(1)r=2cm；(2)r=2.4cm ；(3)r=3cm．
分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只
要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．
已知r，只需求出C到AB的距离d。
B
C A
4
3
Dd
解：过C作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB= 5
根据三角形的面积公式有
∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。
B
C A
4
3
D
d
（2）当r=2.4cm时, 有d=r,
因此⊙C和AB相切。
（3）当r=3cm时，有d
相离相切相交
情境引入
动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作
直线l⊥OA .
思 考：（可与同伴交流）
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？
（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？
直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并
且垂直这条半径的直线是圆的切线。如图所示，
半径OA⊥直线l，直线l为⊙O的切线．
特征①：直线l经过半径OA的外端点A
特征②：直线l垂直于半径OA
d = r 相切
感悟新知
圆的切线的判定方法：
(1)概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆
的切线；
(3)判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线．
总结归纳
例1 已知:如图， A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点
B在圆上，且AB=BC,∠A= 30°.求证:直线AB是⊙O的切线.
连结OB.
∵OB=OC, AB=BC,∠A=30°，
∴∠OBC=∠C=∠A=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.
∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A)
=180°-(60°+30°)=90°，
∴AB⊥OB，
∴AB为⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线).
证明：
∵OA=OB=5，AB=8
∴AC=BC=4
∴在Rt△AOC中，OC=3，
又∵⊙O的直径长为6，
∴OC=半径r
∴直线AB是⊙O的切线.
证明：过点O作OC⊥AB
C
无交点，作垂直，证d=r
如图，已知OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6.
求证：AB与⊙O相切.
B
Ｏ
A
有交点，连半径，证垂直
练习
实际应用
例2 如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移
动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市
A（200，380），B（600，480），C（550，300），
D（370，540）中，哪些受到这次台风影响，哪些不受到
这次台风影响？
合作学习
① OA与AT垂直吗？问：
已知直线AT切⊙O于点A（切点）,连结OA，则OA是半
径.
经过切点的半径垂直于圆的切线
AO
T
②过点A作AT的垂线，垂线过点O吗？
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
圆的切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线．
拓展：
(1)切线和圆只有一个公共点．
(2)圆心到切线的距离等于半径．
(3)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点．
(4)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．
总结归纳
（判定垂直）
（判定半径或直径）
例3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径. 如图, 用角尺
的较短边紧靠⊙O于点A, 并使较长边与⊙O相切于点C, 记角尺的
直角顶点为B, 量得AB=8cm, BC=16cm. 求⊙O的半径.
连结过切点的半径
是常用的辅助线
O
A
B C
D
解：连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于D.
∵AB⊥BC,AD⊥OC
∴四边形ABCD是矩形
∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB
在Rt△ADO中,
解得:r=20
答: ⊙O的半径为20cm
∵⊙O与BC相切于点C.
∴OC⊥BC
例4 已知:如图,直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D，
连结CD,OC.求证：∠ACD = ∠COD.
如图,作OE丄CD于点E，
则∠COE+ ∠OCE=90°.
∵ ⊙O与AB相切于点C，
∴OC丄AB (经过切点的半径垂直于圆的切线），
即∠ACD+ ∠OCE=90°.
∴∠ACD=∠COE.
∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD,
∴ ∠COE= ∠COD ∴∠ACD= ∠COD
证明：
1.切线的判定定理。
2.判定一条直线是圆的切线的方法。
（1）定义：直线和圆有唯一公共点。
（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径。
（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直
的直线是圆的切线。
3.辅助线作法：
（1）有公共点：作半径证垂直。
（2）无公共点：作垂直证半径。
课堂小结
4. 切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
5. 切线性质的应用：
常用的辅助线是连接半径．
综合性较强，要联系许多其它图形的性质．
1. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝
AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作半圆O交
BC于点M，N，半圆O与AB，AC相切，切点分别为
D，E，则半圆O的半径和∠MND的度数分别为( )
A．2；22.5°
B．3；30°
C．3；22.5°
D．2；30°
课堂测试
2. 如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、
CD及BC的延长线于E、F、G， ⊙O 是△CGF的外接
圆；
求证：CE是⊙O的切线。
3. 如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D
，E,连结CD，CE.找出图中的一对相似三角形，并说
明理由。
C BA
O
D
E
若已知AC=4cm，⊙O的半径为3cm，能否求出图中其
它线段的长度？
F
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