资料简介
正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数的图象
探究1:周期性
余弦函数的图象
观察发现：自变量x每经过2π个单位，
函数值y不断重复出现
1.周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在
一个非零常数T，使得当x取定义域内的每
一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数
的周期。
注：周期T并不一定唯一
2.正弦函数、余弦函数的性质（重要公式）
例：求下列函数的周期：(公式法)
例：求下列函数的周期：（定义法）
1)：y=3cosx x ∈R
解：因为余弦函数的周期是2π，所
以自变量x只要并且至少需要增长到
x+2π，余弦函数的值才会重复取得，
函数y=3cosx的值才能重复取得，
所以T=2π。
2) y=sin2x x ∈R
解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需
z∈R，且函数y=sinz，z∈R的T=2π，即
变量z只要并且至少要增加到z+2π，函数
y=sinz，z∈R的值才能重复取得，而
z+2π=2x+2π=2（x+π）
故变量x只要并且至少要增加到x+π，
函数值就能重复取得，所以y=sin2x，
x∈R的T=π
3) x∈R
解：令 ，那么x∈R必须并且只要
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
于 。所以自变量z只
要并且至少要增加到z+4π，函数值才能重复取
得，即T=4π
正弦函数的图象
探究2：奇偶性
余弦函数的图象
问题：你能从它们的图象看出它们有
何奇偶性吗？（从图像对称性分析）
复习回顾
奇函数—对于定义域内任意一个自变量
x,都有f(-x)=-f(x)
奇函数的图像关于原点对称
偶函数—对于定义域内任意一个自变量x,
都有f(-x)=f(x)
偶函数的图像关于y轴对称
正弦函数的图象
余弦函数的图象
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y=cosx (xR) 图象关于y轴对称
函数的奇偶性是如何定义的？你能
从这个角度证明正弦函数和余弦函
数的奇偶性吗？
（定义法）
奇偶性
为奇函数
为偶函数
正弦函数的图象
探究3：对称性
余弦函数的图象
问题：你能从它们的图象看出它们的
对称轴和对称中心分别是什么吗？
正弦函数对称性
对称轴：
对称中心：
余弦函数对称性
对称轴：
对称中心：
例 题
• 求 函数的对称轴和对称中心
解（1）令 则
的对称轴为
解得：对称轴为
的对称中心为
对称中心为
整体换元整体换元
1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数.
探究4.正弦余弦函数的单调性
函数 若在指定区间任取 ，且 ，都有：
函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。
观察正余弦函数的图象，探究其单调性
2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数.
增函数：上升 减函数：下降
正弦函数的单调性及单调区间
当 在区间… …上时，
曲线逐渐上升， 其值由 增大到 。
当 在区间
上时， 曲线逐渐下降， 其值由 减小到 。
正弦函数的单调性
正弦函数的增区间为：
其值从－1增大到1；
正弦函数的减区间为：
其值从1减小到－1。
余弦函数的单调性及单调区间
当 在区间 上时，
曲线逐渐上升， 其值由 增大到 。
曲线逐渐下降， 其值由 减小到 。
当 在区间 上时，
探究：余弦函数的单调性
余弦函数的
其值从1减小到－1。
减区间为：
其值从－1增大到1 ；
增区间为：
1.求函数的单调增区间
y=sinzy=sinz的增区间的增区间
原函数的增区间原函数的增区间
整体换元整体换元
变式：求函数的单调增区间
√
2.求函数的单调增区间
增增
减减
减减
增增
变式练习
整体换元整体换元
3.求函数的单调增区间
增增
为了防止出错，以及计算方便，遇到为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来负号要提出来
增增
增增
减减
4.求函数的单调增区间
增增
为了防止出错，以及计算方便，为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来遇到负号要提出来
增增
增增
增增
解：
应 用 举 例
利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
即
探究5：最大值和最小值
正弦函数的最大值和最小值
最大值：当 时，有最大值
最小值：当 时，有最小值
余弦函数的最大值和最小值
最大值：当 时，有最大值
最小值：当 时，有最小值
例题
求使函数 取得最大值、最小值的
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
化未知为已知
分析：令
则
整体换元整体换元
必须
使原函数取得最大值的集合是
必须
使原函数取得最小值的集合是
1.1.求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值
整体换元整体换元
因为有负号，
所以结论要
相反
的最大值的最大值
最大最大
最小最小
练习：求函数练习：求函数
练习： 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，
请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，
并说出最大值、最小值分别是什么？
已知三角函数值求角
• 已知 求
已知三角函数值求角
• 已知 求 的范围
已知三角函数值求角
练习：已知 求
已知三角函数值求角
• 已知 求 的范围。
小 结
1.求单调区间
（1）化未知为已知
（2）负号：sin提出来；cos消去
2.已知三角函数值，求角
（1）在一个区间里找两个代表
（2）分别加上2kπ
函 数
性 质
y= sinx (k∈z) y= cosx (k∈z)
定义域
值域
最值及相应的 x
的集合
周期性
奇偶性
单调性
R R
[-1,1] [-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1
x= 2kπ+ π时 ymin=-1
周期为T=2π 周期为T=2π
奇函数 偶函数
在x∈[2kπ-π， 2kπ ]
上都是增函数 ,
在x∈[2kπ ， 2kπ+π ]
上都是减函数 。
x= 2kπ+ 时 ymax=1
x=2kπ- 时 ymin=-
1
π
2
π
2
在x∈[2kπ- , 2kπ+ ]
上都是增函数
在x∈[2kπ+ ,2kπ+ ]
上都是减函数.
π
2
π
2
π
2
3π
2
作 业
• 求 的单调区间
• 解不等式
P46 2、 4 、5题
课 后 作 业
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