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人教版高中数学必修21.3.2球的体积和表面积PPT课件

2021-03-10
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1．3.2 球的体积和表面积新知全景扫描案例全程导航训练全程跟踪 1．3.2 球的体积和表面积如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半径变为原来的__________倍，体积变为原来的________倍．探究点一球的体积和表面积的计算 1.球的体积是球体所占空间的大小的度量，设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数即 V＝ πR3. 2．球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是球半径的函数即S＝4πR2. 3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑球的轴截面．一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论． [解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质，知 AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20. 探究点二球的接切问题球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和“外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．如图所示，直角梯形O2BAO1 内有一个内切半圆O，把这个平面图形绕O1O2旋转一周得到圆台内有一个内切球，已知圆台全面积与球面积的比是k(k＞1)，求它们的体积比． [提示] 本题求解需要的量比较多，可采用设而不求的方法，即先设出有关量，通过已知建立关系，作比约去参数，即得结果． 2．若半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是 ( ) A．5π∶12 B．5π∶6 C．2π∶3 D．3π∶4 解析：正方体内接于半球，即正方体的四个顶点在半球面上，另外四个顶点在半球的底面圆上．如图所示的是内接正方体的对角面，答案：D 探究点三球的表面积和体积的实际应用球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛，特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解决问题的例子更是普遍．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可先设出圆锥的高，再求其侧面积． 3．一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm.求钢球的半径．设球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别是3和4，求圆台的体积． [错因] 题目没有给出圆台的两底面及球心的具体位置，上面解法只是一种情况，另一种情况是两底面在球心的两侧．查看更多

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