资料简介
第2章 圆
2.3 垂径定理（1）
1、什么叫轴对称图形？
2、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径（过圆心的直线）。
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的
跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形
高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什
么？
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
条件
结论
AE=BE
⌒ ⌒AC=BC
⌒ ⌒AD=BD垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。
应用垂径定理的书写步骤
∵ CD是直径,CD⊥AB, ∴AM=BM,
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ ⌒ AD =BD.
·O
A B
C
D
E
·O
A BC
D
└ M
是否符合垂径定理的条件，主要看两点：一是直径；
二是要与弦垂直。注意几个基本图形：(1)、(2)、(3)、(4)
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
E
O
A B
D
C (1)
E O
A
B
C
(2)
E
O
A B
D (3)
E
O
A B
(4)
E
O
A
B
DC
(5)
E
O
A B
D
C (6)
E
O
A B
D
C (7)
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解：连结OA
∴AE= AB=42
1
∵OE AB于E.┴ OE=3
由勾股定理得：∴OA=√ AE2+OE2 =5
圆心到弦的距离、半径、弦的一半构成直角
三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
E
·
A B
O
37.4
7.2
D
C
BA
O
18.7
R-7.2R
解决“赵州桥”问题：
如图，OA=OC=R，
OD=OC-CD=R-7.2
AB=18.7AD2+OD2=OA2
即：18.72+(R-7.2)2=R2 R≈27.9(m)
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
3、已知：如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD.
··
A BC D
O证明：过O点，作OE AB┴
E
∴AE=BE，CE=DE,
AE-CE=BE-DE, ∴AC=BD
4、已知⊙O的半径为13cm，该圆的弦AB∥CD，且AB=10cm，
CD=24cm，求弦AB和弦CD之间的距离。
O·
A B
C DE
F
解：如图，过O作OF AB，交AB于F，
交CD于E，
┴
∴AB∥CD ∴OE CD┴
在Rt∆OCE中，OE=5cm
在Rt∆OAF中，OF=12cm
∴EF=OF-OE=7cm
C DE
弦AB、CD在圆心两侧时，EF=OE+OF=17cm
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。2√3cm
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是 。8cm
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。2√3cm
4.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高
CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为
. 13cm
E BA
O
E BA
O
E
O
A B
128
6、如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若
AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O的半
径等于 cm。
7、已知，M是⊙O内一点，已知过点M的
⊙O最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，
则OM=_____ cm.
C
7
3
5、如图，AC⊥BO，AC=8cm，BA=5cm，
则⊙O的半径为 ，AC的弦心距为 。6
25cm 6
7 cm
C
D
BA
9、求证：同圆中，两平行弦所夹得弧相等。
·O
DC
BA
已知，AB,CD是⊙O的两条弦，
且AB∥CD，求证：AC=BD
8、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入
一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝
600毫米，求油的最大深度。
·
BA
请围绕以下两个方面小结本节课：
1、从知识上学习了什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。
2、从方法上学习了什么？
（1）垂径定理是圆中一个重要的结论,叙述语言要准确,
一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得
③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
（2) 垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等
问题的方法，构造直角三角形
（3）解决有关弦的问题时，经常
①连结半径；
②过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径
定理创造条件。
第2章 圆
2.3 垂径定理（2）
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
结论
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
条件
（1）过圆心
（2）垂直于弦
CD⊥AB,
CD是直径,
条件 AM=BM,
结论
⌒ ⌒AD =BD.⑤
⌒ ⌒AC =BC,④ ●O
A B
C
D
└ M
探究一、AB是⊙O的一条弦（非直径），且AM=BM，过点M作
直径CD. 你发现图中有哪些等量关系?说说你的想法和理由.
②CD⊥AB,由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得 ⌒ ⌒④AC=BC,
⌒ ⌒⑤AD=BD.
●O
C
D
MA B
┗
·ＯA B
D
C
（E
）
（不是直径）
连接OA,OB,则OA=OB. ∴△OAM≌△OBM.
∴∠AMO= ∠ BMO. ∴CD⊥AB
∵⊙O关于直径CD对称,
⌒ ⌒AC和BC重合, ⌒ ⌒AD和BD重合.
⌒ ⌒∴AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD,
平分弦 的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
推论1：
探究二：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB
于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？
为什么？
②CD⊥AB于M, ① CD是直径
③ AM=BM
可推得 ⌒ ⌒④AC=BC,
⌒ ⌒⑤AD=BD.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
找到本质：
●O
C
M
A B
┗
D
1、判断正误：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这条直线垂直这条弦。
·
A
B
C DO
(1)
·A B
C
D
O
(2)
·A B
C
D
O
(3)
（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
·A BC
O
(4)
· A
B
C
DO
(5)
·A B
C
D
O
(6)
E
2.已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，圆心O到BC的距离为
3厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。
D
D
· O
CB
A
C
·O
B
A
3.如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，BF⊥CD
于F，且圆O的半径为10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
·O
G
F
E
D
C
BA
OD=3
OB=5
BD=4
AD=8
AB=4√5
AB=2√5
M
解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M，
则CM=MD∵CD=16，CM=8，
在Rt△OMC中，因OC=10∴OM=6
∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF
AE
OM
AG
OG= BF
OM
BG
OG= AE-BE
OM
AG-BG
OG= = 2OG
OG =2
AE-BF=2OM=12
4 . 如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出
水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米
的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
NM
BA
O
D
C
FE
H
r
如图，将问题转化为数学问题。
AB=7.2，CD=2.4
由垂径定理：AD=3.6 HN=1.5
设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4
在Rt△OAD中，由勾股定理，得:
r≈3.9（m）
在Rt△ONH中，由勾股定理，得：
OH=√ON2-NH2 =√3.92-1.52 =3.6
∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1>2
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
1、判断：
(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的
两条弧. （ ）
(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧. （ ）
(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.
(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
.
√
√
√
·O
D
C
B
A
N
M
E
FAE=EB CF=FD
⌒ ⌒ CN=ND.
⌒ ⌒ AC=BD.⌒ ⌒ AM=BM.
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,
则过P点的弦中，
（1）最长的弦= cm
（2）最短的弦= cm
（3）弦的长度为整数的共有（ ）
A、2条 B、3条 C、4条 D、5条
·O
P BA
D
C
C
4、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,
P为AB上的一个动点，那么OP长
的取值范围是 。3cm≤OP≤5cm
5、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,
点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,
连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,
OF⊥BP于F，EF= 。
·
O
BA
PC
4 F
·
O
BA
E
P
10
8
6、已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，
求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。
·O
BA
E
D
E
7、如图所示,⊙O的直径长4cm，
C是AB的中点，弦AB、CD交于点P，
CD=2√3cm，求∠APC的度数。 ·O
E BA
C
D
P
F
8、如图，CD为圆O的直径，弦AB交
CD于E，∠ CEB=30°，DE=9㎝，
CE=3㎝，求弦AB的长。 ·O
ED C
B
A
F
DE=2cm 8cm
∠APC=∠COF=60°
由条件：DC=12，OC=6，OE=OC-EC=3
∠ CEB=30°=∠ FEO OF=1.5
2
3√15AF=√OA2-OF2 =√62-1.52 = 3√15AB=2AF=
9.如图,圆O与矩形ABCD交
于E、F、G、H,EF=10，
HG=6，AH=4，求BE的长. ·O
D
CB
A
F
H G
E N
M
10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，
C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：
△OCD为等腰三角形。
E
·O
BA DC
11、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，
AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF
DE
·O
C
B
A
F
BE=2
M
作OE⊥CD，AE=BE ∵AC＝BD
∴CE=BE ∴△OCE≌△ODE. ∴OC=OD
作OM⊥CD，∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴AE∥OM∥BF ∵OA=OB，∴EM=MF
∵CM=MD，∴EC=DF
1、垂径定理及推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
2、垂径定理及其推论和勾股定理相结合，方程的思想
来解决问题。
·
O
dr
h2
a
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓
形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以
求出另外两个量，如图有：
（1）r=d+h
2
a（2） r2=d 2+( )2
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